§ 3. Первая мера и первый тензор конечной деформации

3.1. Векторные базисы v- и V-объемов.

Точка сплошной среды задается материальными координатами Ее положение в -объеме определяется вектором-радиусом

В -объеме положение этой же материальной точки можно задать вектор-радиусом

В частности, материальными можно считать декартовы координаты -объема

но с таким же основанием за них можно принять и декартовы координаты V-объема

Векторный базис в -объеме задается тройкой векторов

а в -объеме — тройкой векторов

Векторы взаимных базисов строятся по правилам (:

Здесь

причем через обозначаются определители матриц ковариантных компонент

метрических тензоров и -объемов так что

Сами эти тензоры, играющие роль единичных в v- и соответственно в V-объеме, в их диадных представлениях записываются в виде

Здесь, как всегда, введены также контравариантные компоненты метрических тензоров и

Заметим, что тензоры являясь единичными в базисах и соответственно -объемов, равны обратным им тензорам:

Следствием определений (3.1.7), (3.1.8) служат известные соотношения

Заменив здесь их значениями (3.1.5), (3.1.6), имеем

Отсюда имеем

Итак,

и аналогично

Следствием являются упомянутые выше соотношения

По (3.1.10) и (3.1.14) приходим К формулам

Набла-оператор в -объеме определяется символическим вектором (:

В -объеме роль векторов Обходит к и для набла-оператора применяется обозначение

В последующем требуется тщательное различение операций в и в -объемах; действия и величины, относящиеся к -объему, указываются знаком тильды Например, вектор может быть задан его компонентами в базисах v- и -объемов; его ковариантные и контравариантные компоненты в векторном базисе -объема обозначаются, как обычно, но в векторном базисе через

Тензор, равный грйдиенту вектора а, в соответствии со сказанным записывается в метрике -объема в виде

а в метрике -объема имеем отличный от него тензор

Это объясняется тем, что транспонированный тензор определен как производная в по направлению по направлению

В операциях ковариантного дифференцирования в и в -объемах требуется, конечно различать символы Кристоффеля; например,

Символы, снабженные знаком тильды, вычисляются по компонентам тензора а когда этот знак отсутствует — по компонентам

Отметим также формулы, обратные (3.1.7), (3.1.8):

причем