§ 3. Первая мера и первый тензор конечной деформации
3.1. Векторные базисы v- и V-объемов.
Точка сплошной среды задается материальными координатами
Ее положение в
-объеме определяется вектором-радиусом
В
-объеме положение этой же материальной точки можно задать вектор-радиусом
В частности, материальными можно считать декартовы координаты
-объема
но с таким же основанием за них можно принять и декартовы координаты V-объема
Векторный базис в
-объеме задается тройкой векторов
а в
-объеме — тройкой векторов
Векторы взаимных базисов строятся по правилам (
:
Здесь
причем через
обозначаются определители матриц ковариантных компонент
метрических тензоров
и
-объемов
так что
Сами эти тензоры, играющие роль единичных в v- и соответственно в V-объеме, в их диадных представлениях записываются в виде
Здесь, как всегда, введены также контравариантные компоненты метрических тензоров и
Заметим, что тензоры
являясь единичными в базисах
и соответственно
-объемов, равны обратным им тензорам:
Следствием определений (3.1.7), (3.1.8) служат известные соотношения
Заменив здесь
их значениями (3.1.5), (3.1.6), имеем
Отсюда имеем
Итак,
и аналогично
Следствием являются упомянутые выше соотношения
По (3.1.10) и (3.1.14) приходим К формулам
Набла-оператор в
-объеме определяется символическим вектором (
:
В
-объеме роль векторов
Обходит к
и для набла-оператора применяется обозначение
В последующем требуется тщательное различение операций в
и в
-объемах; действия и величины, относящиеся к
-объему, указываются знаком тильды
Например, вектор может быть задан его компонентами в базисах v- и
-объемов; его ковариантные и контравариантные компоненты в векторном базисе
-объема обозначаются, как обычно,
но в векторном базисе
через
Тензор, равный грйдиенту вектора а, в соответствии со сказанным записывается в метрике
-объема в виде
а в метрике
-объема имеем отличный от него тензор
Это объясняется тем, что транспонированный тензор
определен как производная в по направлению
по направлению
В операциях ковариантного дифференцирования в
и в
-объемах требуется, конечно различать символы Кристоффеля; например,
Символы, снабженные знаком тильды, вычисляются по компонентам тензора
а когда этот знак отсутствует — по компонентам
Отметим также формулы, обратные (3.1.7), (3.1.8):
причем