3.3. Формула Клапейрона. Область значений модулей упругости.

Потенциальная энергия деформации упругого тела определяется интегралом по объему от удельной потенциальной энергии

Эта величина равна половине работы внешних сил на последовательности равновесных состояний линейно-упругого тела из его натурального состояния. Доказательство основано на равенстве

Действительно, по (II. 3.10) и (3.2.6)

и подстановка в (3.3.2) приводит к искомому соотношению

Это — формула Клапейрона. В ней утверждается, что работа внешних сил затрачена на сообщение рассматриваемому объему линейно-упругой среды потенциальной энергии, возвращаемой в виде работы при постепенном разгружении тела (или кинетической энергии при внезапной разгрузке). Из этих энергетических представлений следует, что Такое утверждение

эквивалентно локальному (осуществляемому в любой части -объема) свойству

вследствие произвольности объема

Утверждение (3.3.4) является свойством, приписываемым упругому телу, — в нем отсутствуют зоны, в которых . В линейно-упругом изотропном теле оно должно обеспечиваться требованиями, накладываемыми на модули упругости:

Отчетливее всего это видно из формулы (3.2.1): при отсутствии сдвигов выполнение неравенства (3.3.4) требует положительности модуля объемного сжатия а при неизменности объема положительности модуля сдвига. Неравенства (3.3.5) соответствуют и привычным статическим представлениям о поведении упругого тела: в напряженном состоянии чистого сдвига (п. 2.4 гл. I) деформация сдвига имеет знак касательного напряжения , а при гидростатическом сжатии объем кубика уменьшается

Из выражения через

следует, что первое неравенство выполняется для значений коэффициента Пуассона в промежутке

Растяжение стержня из материала с отрицательным (но большим, чем —1) v сопровождалось бы увеличением его поперечных размеров. Энергетически существование таких упругих материалов не исключено.

Заметим, что неравенства (3.3.5) могут быть записаны еще в виде

Замечание. Известно, что квадраты скоростей распространения волн сдвига и сжатия — расширения в упругой среде равны соответственно

Поэтому распространение волн сжатия — расширения представляется возможным в среде с любым Ограничение является следствием независимого требования (3.3.4). В гипотетическом материале с гидростатическое сжатие кубика сопровождалось бы увеличением ею объема.