2.7. Элементарные решения.

Как указывалось в п. 2.4, к элементарным случаям относятся нагружения осевой силой и изгибающими моментами отличным от нуля оказывается нормальное напряжение поэтому краевые задачи, связанные с определением касательных напряжений не возникают.

Решение задачи о растяжении дается формулами (2.4.1) — перемещаясь поступательно вдоль оси стержня, поперечное сечение подобно преобразуется в своей плоскости. Зависимости

координат точки стержня в напряженном состоянии от их начальных значений даются формулами

При изгибе в плоскости (парой ту) эти зависимости приобретают по (2.4.3) более сложный вид:

Здесь - кривизна упругой линии; в проводимом далее рассмотрении искажения поперечного сечения сохраняются лишь первые степени отношений Через обозначаются единичные векторы внешней нормали и касательной к контуру поперечного сечения стержня, причем ориентированы, как единичные векторы Записывая уравнения (1.1.6) этого контура в векторной форме имеем

причем -кривизна кривой и верхний (нижний) знак берется, если она обращена вогнутой (выпуклой) стороной к началу координат — центру инерции сечения.

Формулы (2.7.2) представляют уравнения поверхности изогнутого стержня; в них играют роль гауссовых координат. Называя через вектор-радиус точки на этой поверхности, составляем выражения базисных векторов на ней:

так что с указанной точностью

Единичный вектор нормали к поверхности оказывается равным

Сославшись на (2.7.3), имеем

и коэффициенты второй квадратичной формы поверхности оказываются равными

С принятой степенью точности координатные линии оказываются линиями кривизны Вектор нормальной кривизны поверхности определяется равенством

и поэтому кривизны линий кривизны — главных нормальных сечений равны

Центры кривизны расположены на нормали к поверхности. Первой формулой определяется кривизна контура деформировавшегося поперечного сечения, второй — кривизна волокна на поверхности стержня.

В случае круглого поперечного сечения (радиуса а) по (2.7.8) имеем

а уравнение контура в векторной форме записывается по (2.7.2) в виде

Со степенью точности, принятой в этом вычислении, кривизны кривых одинаковы, но центр кривизны сместился из центра круга в точку

Для волокон ил имеем соответственно их центр кривизны попадает в центр кривизны С упругой линии стержня кривизна волокон а сохраняется равной нулю.

Рассмотрим еще случай, когда в состав контура входит прямолинейный отрезок; пусть его уравнения

Кривизны оказываются равными

Они имеют противоположные знаки; говорят, что плоский участок превратился в антикластическую поверхность. Отношение кривизн равно коэффициенту Пуассона это обстоятельство было использовано для его экспериментального определения с помощью интерференционных полос, получающихся при пропускании света через пластинку, установленную параллельно плоской грани изгибаемого бруса.

Как пример рассмотрим случай стержня прямоугольного сечения. Стороны превращаются (приближенно) в параболы, обращенные выпуклостью в сторону положительной оси х. Кривизны равны — центры кривизны парабол расположены на отрицательной оси в точке тогда как центр кривизны изогнутого волокна находится в точке центре кривизны упругой линии.

Грани в рассматриваемом приближении остаются плоскими: