1.3. Изотропная однородная среда Генки.

Мы ограничимся рассмотрением сред, в которых тензор напряжения определен заданием тензора деформации и температуры 0, отсчитываемой от температуры начального состояния. Компоненты этих тензоров связываются соотношениями вида

на которые накладываются некоторые требования инвариантности сохранения вида при преобразовании координатной системы. Этим исключаются физические модели сред, в которых тензору напряжения сопоставляются тензоры деформации и скоростей деформации, когда он предполагается зависящим от предшествующей истории деформирования и «возраста» материала, и т. д. Далее не рассматриваются также неоднородные среды, когда координаты явно входят в зависимости (1.3.1).

Изотропными упругими средами будем называть среды, в которых тензоры деформации и напряжений соосны (п. I. 12). Кубик, выделенный из такой среды, одинаково деформируется под действием приложенных сил при любой ориентации ребер. Из теоремы Кейли — Гамильтона следует, что два соосных тензора связываются друг с другом квадратичной зависимостью вида (I. 12.4). Одним из затруднений нелинейной теории упругости является указание той из мер деформации, которой должен быть сопоставлен тензор напряжения. В линейной постановке задачи оно отпадает, а квадратичная зависимость заменяется линейной вида

причем зависят от инвариантов тензора и, возможно, от температуры; через обозначается единичный тензор.

Изотропную однородную среду, подчиняющуюся закону состояния (1.3.2), называют средой Генки. Запись этого закона через компоненты тензоров имеет вид

и поскольку а и зависят от инвариантов , эти соотношения нелинейны. Среда Генки линейна геометрически, но физически нелинейна. Частным случаем ее является линейная и геометрически и физически упругая среда — среда Гука; описание поведения ее составляет основное содержание этой книги.

По (1.3.2) имеем

так что

и зависимость между вторыми (квадратичными) инвариантами девиаторов записывается в виде

Сославшись на формулы (2.2.11) гл. I и (3.7.4) гл. II:

где интенсивность касательных напряжений, интенсивность деформации сдвига, вводим новое обозначение

Еще раз изменяя обозначения, представим коэффициент а суммой двух слагаемых:

причем второе а зависит от температуры и обращается в нуль вместе с (при температуре тела, равной температуре натурального состояния). Тогда по (1.3.4) и (1.3.7)

Здесь обозначено

Величины называются соответственно модулем объемного сжатия и модулем сдвига. В дальнейшем, ссылаясь на большое число экспериментальных данных о поведении материалов при гидростатическом давлении (всестороннем равномерном сжатии), примем, что модуль объемного сжатия не зависит от инвариантов деформации; его зависимость от изменения объема испытуемого образца была обнаружена в известных опытах Бриджмена только при сверхвысоких давлениях.

При температуре 0 и при отсутствии внешних сил (тогда тензор деформации в испытуемом кубике является шаровым и определяется равенством

где а — коэффициент линейного расширения. Подстановка в (1.3.8) теперь дает

Приходим к равенству

и теперь закон состояния Генки (1.3.2) записывается в виде

или в эквивалентной форме

Возвращаясь к выражению (1.2.3) удельной элементарной работы, имеем теперь

и по

Теперь формула удельной элементарной работы внешних сил представляется в таком выразительном виде:

Первое слагаемое представляет элементарную удельную работу изменения объема, второе — изменения формы.

Напомним еще, что по формулам (1.11.6), (1.10.4), (1.10.5)