3.8. Кручение стержня прямоугольного сечения.

Тема о кручении стержней в течение ста с лишним лет, со времени классического мемуара Сен-Венана, была и остается предметом многочисленных исследований. Накопленные результаты необозримы, а для построения решений использовалось все многообразие точных и приближенных методов математической физики; следует отметить и обратное влияние — задача кручения служила образцом, на котором развивались эти методы и проверялись возможности их эффективного использования. Далее будет приведено небольшое число решений для областей частного вида.

Начнем с рассмотрения задачи кручения для бесконечной полосы . В этом простейшем случае функция напряжений не зависит от х и определяется решением краевой задачи

имеющим вид

так что

и жесткость при кручении для области полосы равна

Решение для прямоугольной области сводящееся к краевой задаче

будем искать (в предположении в форме наложения на решение (3.8.1) для полосы корректирующей гармонической функции

Тогда

Четное по х, у часшое решение уравнения Лапласа для прямоугольной области, удовлетворяющее второму условию (3.8.6), представляется произведением

Поэтому, представляя в форме ряда

следует подчинить выбор постоянных условию

Можно определить коэффициенты умножая обе части этого и равенства на интегрируя по у в пределах Получим

и ряд

является рядом Фурье для заданной в промежутке четной непрерывной функции, представляемой при отрезком параболы а при параболы Таким образом, в требуемом промежутке его сумма равна что и требуется. Приходим к решению для функции напряжений

Геометрическая жесткость при кручении оказывается равной а на

где жесткость бесконечной полосы (3.8.3). Максимум касательного напряжения имеет место в точках контура, ближайших к центру прямоугольника. Он равен

Через обозначены значения для полосы. Приводим пересчитанную по данным Сен-Венана небольшую табличку значений функций

Таблица 11