2.2. Сжатие и растяжение упругой полосы.

Рассматривается упругий слой из несжимаемого материала, в начальном состоянии заполняющий область плоскости и неограниченно простирающийся по оси По граням

слой спаян с абсолютно твердыми плитами, тогда как торцевые поверхности свободны от нагружения. Плитам сообщаются направленные в противоположные стороны, параллельные оси одинаковые перемещения, причем толщина слоя становится равной так что при растяжении слоя, а при сжатии

Декартовы координаты точки слоя в начальном состоянии вводятся в качестве материальных координат. Искомыми величинами являются ее декартовы координаты в деформированном состоянии (-объеме); при этом предполагается, что не зависит от материальные плоскости остаются параллельными плоскостями в -объеме:

Рис. 46.

Эти функции подчинены геометрическим краевым условиям

и требованию статической эквивалентности нулю системы напряжений на поверхностях

Вследствие несжимаемости материала

так что только линейно заиисит от и вместо (2.2.1) можно принять

причем

Из постановки задачи следуют еще свойства симметрии искомых функций: нечетна по и четна по нечетна по Поэтому так что рассматриваемая деформация определяется двумя функциями

связанными условием (2.2.4).

Координатный базис -объема задается векторами

и вычисляемые по нему ко- и контравариантные компоненты метрического тензора оказываются равными

и равные друг другу главные инварианты будут

Удельная потенциальная энергия предполагается заданной в форме Муни (4.9.2) гл. VIII, и контравариантные компоненты тензора напряжений по (2.1.5), (2.1.4) гл. VIII будут

Его физические компоненты определяются равенствами