4.5. Вариационная формулировка задачи изгиба.

Будем исходить из представления касательных напряжений через функцию напряжений

тождественно удовлетворяющего уравнению статики (4.1.2) в объеме; уравнение статики на поверхности (на контуре поперечного сечения)

не удовлетворяется тождественно. Поэтому, имея в виду применение принципа минимума дополнительной работы, допускающего сравнение статически возможных напряженных состояний, следует в рассмотрение вводить только функции, удовлетворяющие на условию (4.5.2), и, значит,

В принципе минимума дополнительной работы приравнивается нулю выражение разности вариаций потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения, и работы вариаций поверхностных сил

На боковой поверхности в задаче Сен-Венана это выражение по условию (4.5.3) обращается в нуль. Напряжение задано его выражением (4.1.1) и поэтому не варьируется в объеме и на торцах, следовательно, значения проекций вектора перемещения, определяемые формулами (2.2.9), не зависят от выбора функции и поэтому Имеем

и, учитывая, что при можем представить теперь работу вариаций поверхностных сил в форме вариации интеграла по площадям торцов

причем не выписаны слагаемые, вариация которых нуль, — произведения на не зависящие от члены Слагаемые в третьей строке (4.5.4) преобразуются в контурные интегралы, обращающиеся в нуль по (4.5.3).

Вариация потенциальной энергии деформации записывается в виде

и принцип минимума дополнительной работы приводит к задаче минимизации интеграла

причем выбор минимизирующей функции подчинен краевому условию (4.5,2).

Варьируя этот интеграл и проведя надлежащие преобразования интегралов по в контурные, придем к выражению

так как остающиеся контурные интегралы оказываются нулями, например:

Приходим к дифференциальному уравнению Пуассона

которое при переходит в уравнение (4.3.5). Из него следует

так что выражение в квадратных скобках формулы (4.5.7), как следовало ожидать, равно нулю.