4.5. Вариационная формулировка задачи изгиба.
Будем исходить из представления касательных напряжений 
через функцию напряжений 
тождественно удовлетворяющего уравнению статики (4.1.2) в объеме; уравнение статики на поверхности (на контуре 
поперечного сечения)
не удовлетворяется тождественно. Поэтому, имея в виду применение принципа минимума дополнительной работы, допускающего сравнение статически возможных напряженных состояний, следует в рассмотрение вводить только функции, удовлетворяющие на 
условию (4.5.2), и, значит,
В принципе минимума дополнительной работы приравнивается нулю выражение разности вариаций потенциальной энергии деформации, выраженной через напряжения, и работы вариаций поверхностных сил 
На боковой поверхности в задаче Сен-Венана это выражение по условию (4.5.3) обращается в нуль. Напряжение 
задано его выражением (4.1.1) и поэтому не варьируется в объеме и на торцах, следовательно, 
значения проекций 
вектора перемещения, определяемые формулами (2.2.9), не зависят от выбора функции 
и поэтому 
Имеем
и, учитывая, что 
при 
можем представить теперь работу вариаций поверхностных сил в форме вариации интеграла по площадям торцов
причем не выписаны слагаемые, вариация которых нуль, — произведения 
на не зависящие от 
члены 
Слагаемые в третьей строке (4.5.4) преобразуются в контурные интегралы, обращающиеся в нуль по (4.5.3).
Вариация потенциальной энергии деформации записывается в виде
и принцип минимума дополнительной работы приводит к задаче минимизации интеграла
причем выбор минимизирующей функции 
подчинен краевому условию (4.5,2).
Варьируя этот интеграл и проведя надлежащие преобразования интегралов по 
в контурные, придем к выражению
так как остающиеся контурные интегралы оказываются нулями, например:
Приходим к дифференциальному уравнению Пуассона
которое при 
переходит в уравнение (4.3.5). Из него следует
так что выражение в квадратных скобках формулы (4.5.7), как следовало ожидать, равно нулю.
