ЧАСТЬ IV. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛАВА VIII. ЗАКОНЫ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ТЕЛА
§ 1. Потенциальная энергия деформации
1.1. Идеально-упругое тело.
В гл. I и II в рассмотрение были введены две группы величин: первая группа величин, определяющих тензор напряжений, служила для описания напряженного состояния, возникающего под действием внешних массовых и поверхностных сил, тогда как величины второй группы — меры и тензоры деформации — определяли изменения геометрических объектов (отрезок, площадка, объем) при деформировании среды. Никаких предположений о связи между величинами этих двух групп — о законах состояния среды — не было сделано. Поэтому сказанное в этих главах приложимо к средам любой природы; но его недостаточно для суждения о поведении какой-либо реальной среды, для построения ее механики.
Установление законов состояния среды, то есть зависимостей тензора напряжений от тензоров деформации и скорости деформации при учете термодинамических параметров и влияния предшествующей истории деформирования, составляет предмет реологии. В этой книге, как уже говорилось в пп. 1.1, 1.3 гл. III, рассматривается одна лишь реологическая модель — идеально-упругое тело. Основным его свойством является обратимость происходящих в нем процессов; можно предложить два способа определения этого свойства. Первый — полная восстанавливаемость формы тела, второй — возвращение без потерь энергии, сообщенной телу при деформировании. Предполагается, что тело из некоторою начального состояния подвергается нагружению, протекающему «столь медленно и постепенно», что в каждый момент сохраняется равновесие, соответствующее условиям, в которых тело находится в этот момент (игнорируются динамические явления). Возникает деформированное состояние; оно целиком исчезает, и тело восстанавливает
начальную геометрическую форму при медленном и постепенном разгружении. Второй способ построения модели — энергетический; работа сил нагружения затрачивается на сообщение телу накопляемой им потенциальной энергии деформации, при разгружении тело возвращает ее без потерь.
В математической формулировке первый способ состоит в задании закона связи между тензорами напряжений и деформации. При втором способе построения закона состояния исходят из задания выражения потенциальной энергии через компоненты деформации и по нему определяют тензор напряжений.
«Упругое тело» характеризуется только наличием однозначной зависимости тензора напряжений 
от меры деформации 
(или М). Требование существования потенциальной энергии деформации выделяет из класса упругих тел «гиперупругие» тела (Трусделл), названные здесь идеально-упругими. Далее рассматриваются только идеально-упругие тела, поэтому слово «идеальный» часто опускается.
Применимость модели идеально-упругого тела к реальным телам, как и любой другой реологической модели, должна быть подтверждена экспериментально. Однако осуществима проверка только следствий, получаемых теоретически из исходного закона. Чем больше накоплено таких следствий, тем больше возможностей создается для экспериментального исследования. Трудная задача установления закона состояния материала «должна быть передана экспериментаторам как можно позже» (Синьорини). Необходимо еще добавить, что непосредственному измерению доступно только поле деформаций, тогда как о напряжениях можно судить только по их интегральным эффектам — параметрам нагружения (растягивающая сила, крутящий момент, давление на поверхности образца и т. п.). Поэтому опыты чаще всего проводятся на образцах достаточно простой геометрической формы (призматический стержень, тонкостенная цилиндрическая трубка) в условиях статической определенности компонент напряженного состояния. Экспериментальные знания сосредоточены лишь на многообразиях одного, двух, редко и отрывочно — трех измерений шестимерного пространства компонент тензора деформации. Эти недостаточные сведения могут служить подтверждением не одного-единственного, а отличных друг от друга представлений закона состояния. Довольствуются принятой формой закона состояния, если констатируется его достаточно удовлетворительное подтверждение опытными данными в использованном диапазоне измеряемых величин.
