1.7. Обратный тензор.

Соотношения (1.3.2) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных она имеет решение, если матрица невырожденная, то есть ее определитель отличен от нуля:

Тогда определяются известными равенствами

в которых алгебраическое дополнение элемента определителя (обратить внимание на расстановку индексов!). Тензор с матрицей компонент

называется обратным тензору и обозначается

Соотношения (1.7.2) теперь записываются в виде

и подстановка в (1.3.4) приводит к равенству

Из него имеем

откуда приходим к известному свойству определителей

Заметим еще также, что

Известно, что определитель представляет сумму взятых с надлежащими знаками произведений вида причем в тройках индексов не должно быть одинаковых; в противном случае сумма будет нулем. Нетрудно проверить, что

Введем обозначение

Тогда

так как при в тройках индексов неизбежно повторение; пришли к равенству (1.7.8), откуда следует, что формулой (1.7.11) дается другое представление компонент тензора:

Заметим еще соотношения

— тензор, обратный обратному, равен исходному тензору; транспонирование обратного тензора приводит к тензору, обратному транспонированному. Далее, отметим свойство переставимости

и соотношение, определяющее тензор, обратный произведению тензоров:

проверяемое умножением обеих частей на

что и требуется.