1.7. Обратный тензор.
Соотношения (1.3.2) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных 
она имеет решение, если матрица 
невырожденная, то есть ее определитель отличен от нуля:
Тогда 
определяются известными равенствами
в которых 
алгебраическое дополнение элемента 
определителя 
(обратить внимание на расстановку индексов!). Тензор с матрицей компонент
называется обратным тензору 
и обозначается 
Соотношения (1.7.2) теперь записываются в виде
и подстановка в (1.3.4) приводит к равенству
Из него имеем
откуда приходим к известному свойству определителей
Заметим еще также, что
Известно, что определитель 
представляет сумму взятых с надлежащими знаками произведений вида 
причем в тройках индексов 
не должно быть одинаковых; в противном случае сумма будет нулем. Нетрудно проверить, что
Введем обозначение
Тогда
так как при 
в тройках индексов 
неизбежно повторение; пришли к равенству (1.7.8), откуда следует, что формулой (1.7.11) дается другое представление компонент тензора:
Заметим еще соотношения
— тензор, обратный обратному, равен исходному тензору; транспонирование обратного тензора приводит к тензору, обратному транспонированному. Далее, отметим свойство переставимости
и соотношение, определяющее тензор, обратный произведению тензоров:
проверяемое умножением обеих частей на 
что и требуется.
