4.5. Трехосное напряженное состояние.

При равномерном растяжении по направлениям осей декартовой системы главные направления совпадают с направлениями этих осей За материальные координаты принимаются координаты точки в -объеме. Итак,

где — проекции вектора на координатные оси. Принимается обозначение

где главные относительные удлинения. Тензоры представляются линейными дифференциальными операторами над вектором с постоянными коэффициентами.

Предполагая, что массовые силы отсутствуют, а поверхностное нагружение представлено, во-первых, нагрузкой, не изменяющейся при сообщении точкам -объема перемещения («мертвая нагрузка»), и, во-вторых, равномерно распределенным по всей поверхности тела давлением нормальным к деформированной поверхности О («следящее давление»), имеем по (4.1.15) и (4.3.5)

Уравнения равновесия в объеме и на поверхности (4.3.8) записываются в виде

Повторяя ход доказательства теоремы Кирхгоффа о единственности решения уравнений линейной теории упругости (п. 4.1 гл. IV), рассмотрим интеграл

или

Поверхностный интеграл преобразуется в объемный

так как Приходим к соотношению

Квадратичная форма компонент тензора под знаком интеграла оказывается равной

Она в общем случае не знакоопределенна — ее знак зависит от задания удельной потенциальной энергии деформации и нагружения тела. Поэтому, конечно, не исключено существование отличных от нуля значений переменных формы, для которых интеграл (4.5.3) отличен от нуля.