3.6. Потенциалы теории упругости.

Обобщая классические определения теории ньютонова потенциала, введем в рассмотрение два потенциала теории упругости.

Первый потенциал является аналогом потенциала простого слоя. Он определяется вектором

где - тензор Кельвина — Сомильяна (3.5.9). Предполагается, что О принадлежит к классу поверхностей Ляпунова; вектор - заданная на О плотность слоя. Вектор непрерывная по всем пространстве функция (разрыв непрерывности при переходе через слой испытывает нормальная производная удовлетворяющая в V и однородным уравнениям теории упругости в перемещениях

Предельные значения потенциала извне и изнутри, обозначаемые

равны его «прямому значению», определяемому несобственным сходящимся интегралом

Итак,

Второй потенциал теории упругости имеет свойства потенциала двойного слоя. Он определяется вектором

где силовой тензор влияния (3.5.12). В и в этот вектор также удовлетворяет однородным уравнениям в перемещениях. Вектор плотности равно как и ранее введенный вектор предполагается удовлетворяющим условию Гельдера с положительным показателем у:

Тогда интеграл, называемый прямым значением потенциала

сходится в смысле главного значения. Предельные значения потенциала

не равны друг другу и не равны его прямому значению — потенциал претерпевает разрыв при переходе через слой. То же

самое имеет место и для ньютонова потенциала двойного слоя (его плотность обозначается

Однако доказывается, что его предельные значения равны прямому значению, если та точка на О, в которой плотность равна нулю: при

и это свойство ньютонова потенциала сохраняет и второй потенциал теории упругости: если то

Сославшись теперь на обобщенную теорему Гаусса (3.5.18). запишем равенство

Интеграл

представляет потенциал того же вида, что но с плотностью

обращающейся в нуль в точке Поэтому, сославшись на (3.6.10), (3.6.11), (3,6.8) и снова на имеем

Пришли к формулам Племели для второго потенциала теории упругости: