3.6. Потенциалы теории упругости.
Обобщая классические определения теории ньютонова потенциала, введем в рассмотрение два потенциала теории упругости.
Первый потенциал является аналогом потенциала простого слоя. Он определяется вектором
где
- тензор Кельвина — Сомильяна (3.5.9). Предполагается, что О принадлежит к классу поверхностей Ляпунова; вектор
- заданная на О плотность слоя. Вектор
непрерывная по всем пространстве функция (разрыв непрерывности при переходе через слой испытывает нормальная производная
удовлетворяющая в V и
однородным уравнениям теории упругости в перемещениях
Предельные значения потенциала
извне и изнутри, обозначаемые
равны его «прямому значению», определяемому несобственным сходящимся интегралом
Итак,
Второй потенциал теории упругости имеет свойства потенциала двойного слоя. Он определяется вектором
где
силовой тензор влияния (3.5.12). В
и в
этот вектор также удовлетворяет однородным уравнениям в перемещениях. Вектор плотности
равно как и ранее введенный вектор
предполагается удовлетворяющим условию Гельдера
с положительным показателем у:
Тогда интеграл, называемый прямым значением
потенциала
сходится в смысле главного значения. Предельные значения
потенциала
не равны друг другу и не равны его прямому значению — потенциал
претерпевает разрыв при переходе через слой. То же
самое имеет место и для ньютонова потенциала двойного слоя (его плотность обозначается
Однако доказывается, что его предельные значения равны прямому значению, если
та точка на О, в которой плотность равна нулю: при
и это свойство ньютонова потенциала сохраняет и второй потенциал теории упругости: если
то
Сославшись теперь на обобщенную теорему Гаусса (3.5.18). запишем равенство
Интеграл
представляет потенциал того же вида, что
но с плотностью
обращающейся в нуль в точке
Поэтому, сославшись на (3.6.10), (3.6.11), (3,6.8) и снова на
имеем
Пришли к формулам Племели для второго потенциала теории упругости: