2.7. Синусоидальное нагружение (решения Рибьера (1898) и Файлона (1903)).

Соотношения п. 2.4 можно записать в единой общей форме

в которой искомая величина (функция напряжений, напряжение, перемещения), определяется законом нагружения, - заданная функция оператора зависящая от у. При нагружении по закону синуса или косинуса

и соотношение (2.7.1) оказывается возможным записать в явной форме

не прибегая к разложениям в ряды. Например,

Задавая закон нагружения тригонометрическим рядом вида

в котором, как известно,

имеем

где решение, соответствующее постоянному члену ряда - среднему значению на протяжении балки. Оно строится по правилам п. 2.6.

Например, при нормальном лишь нагружении верхней стороны балки по закону

функция напряжений по (2.4.7) представляется рядом

Здесь решения вида (2.6.1), соответствующие постоянному и линейному по х слагаемым в разложениях моментов в тригонометрический ряд

Сходимость рядов (2.7.7) и находимых по ним напряжений при обеспечивается наличием слагаемого в знаменателе. Сходимость сохраняется и на нагруженной стороне балки исключая точки разрыва нагрузки.

Пример. Рассматривается нагружение балки длины 21 четной по х «треугольной» нагрузкой

Ее представление тригонометрическим рядом имеет вид

и по

причем использовано известное соотношение

Вычисляемые по (2.4.10) нормальные напряжения на сторонах балки даются формулами

причем постоянное слагаемое определено по (2.5.2).

Эти формулы преобразуются к виду

и здесь обнаруживается не учитываемое в элементарной теории различие абсолютных значений напряжений на нагруженной и ненагруженной сторонах балки.

В случае очень тонкой балки коэффициенты рядов (2.7.9) заменяются их разложениями по степеням

и формулы (2.7.9) представляются в виде

или, если вспомнить представление тригонометрическим рядом,

Здесь введено обозначение

Согласно (2.5.4) это — изгибающий момент относительно точки на оси балки. При его можно в соответствии с (2.4.5) представить также в виде

и нетрудно проверить, что представление четной по х функции для тригонометрическим рядом имеет указанный выше вид.

В полученном приближенном решении (2.7.10) исчезает упомянутое различие абсолютных значений величин Нетрудно сообразить, что (2.7.10) соответствует решению задачи о балке длины левый конец которой свободен, нагруженной по линейному закону

Отметим, что, вследствие симметрии нагружения левой и правой балки длины 21, в ее середине отсутствуют перерезывающая сила и изгибающий момент. Привычные представления элементарной теории изгиба балки позволяют при таких условиях, отбросив левую часть балки ограничиться рассмотрением только ее правой части. Отличие строгого решения (2.7.9) от приближенного (2.7.10) обусловлено тем, что воздействие левой части на правую, передаваемое через поперечное сечение определяется наличием напряженного состояния в этом сечении, а не только его статически эквивалентными характеристиками.