1.13. Преобразование формул плоской задачи.
Следствием формул (1.12.4) служат следующие выражения векторов напряжений на площадках, перпендикулярных осям
:
Их следствием, дающим более компактные выражения для вычисления напряжений, служат формулы Г. В. Колосова
Единичный вектор нормали к дуге
может быть представлен комплексным числом
и вектор напряжения на площадке с нормалью
представляется в виде
или, если сослаться на (1.13.2),
Отсюда приходим к следующему представлению главного вектора поверхностных сил на дуге
соответствующему формулам (1.8.4):
Главный момент этих сил на дуге I относительно начала координат по (1.8.5), (1.13.5) записывается в виде
В полярных координатах векторы напряжения на дуге круга и на площадках вдоль радиусов представляются соответственно выражениями
Но эти векторы
задаются комплексными числами
Поэтому, вернувшись к (1.13.4), приходим к таким выражениям векторов напряжений:
или
Отсюда приходим к таким представлениям формул Г. В. Колосова:
Конечно, их можно было получить, перейдя к выражениям компонент тензора напряжений в системе осей, повернутых на угол
относительно исходной декартовой системы.
Эти формальные преобразования закончим формулой для вектора перемещения; сославшись на (1.12.2), (1.7.6) и введя обозначение
имеем
или, в полярных координатах,