V.3. Ковариантное дифференцирование.
Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы 
контравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта; иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты 
вектора а не зависят от координат 
их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное: при постоянном векторе а его компоненты 
или 
не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования.
Рассмотрим производную а по 
начнем со случая задания а его контравариантными компонентами. Имеем
или, после замены немых индексов,
Аналогично, сославшись на (V. 2.9), имеем
Выражения
называют ковариантными (абсолютными) производными от кон-травариантных и ковариантных компонент вектора а. При этих обозначениях
Величины 
и 
представляют соответственно контра- и ковариантные компоненты вектора 
Сказанное обобщается на тензоры любого ранга. Например, представляя тензор второго ранга его контравариантными компонентами, имеем
или
Аналогично получим 
Тензор 
здесь представлен его контравариантными, ковариантными и смешанными компонентами.
Частое применение имеет теорема Риччи: ковариантная производная компонент метрического тензора равна нулю. Это следует из соотношения
или
Итак,
что и требовалось. Этого следовало ожидать, поскольку метрический тензор играет роль единичного тензора.
При ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора играют роль постоянных — их можно выносить за знак и вносить под знак символа 
(но, конечно, не 
).
Например,
как и должно быть, поскольку производная инварианта (тензора 
является инвариантом, не зависящим от способа его представления (через ковариантные 
или контравариантные 
его компоненты).
При ковариантном дифференцировании сохраняется правило дифференцирования произведения, например:
Обращается в нуль и ковариантная производная тензора Леви-Чивита; например, рассматривая его ковариантные компоненты, имеем
В развернутой форме это равенство имеет вид
и, поскольку 
тройка различных индексов, только в одной из троек индексов
нет повторяющихся — в первой при 
во второй при 
в третьей при 
Пусть такой тройкой будет первая; тогда, замечая, что
имеем
и сказанное следует из легко проверяемого соотношения
Его вывод основан на определениях (V. 2.7), (V. 2.6); имеем
Слагаемые
очевидно, сокращаются; поэтому, используя формулу (1.7.9) дифференцирования определителя, найдем
что и требуется.
