§ 7. Равновесие упругого кругового цилиндра

7.1. Дифференциальные уравнения равновесия кругового цилиндра.

В последующем ограничиваемся рассмотрением случаев аксиально-симметричной и изгибной деформаций цилиндра. В первом случае осевое радиальное и и кольцевое (перпендикулярное меридиональным плоскостям) перемещения являются функциями цилиндрических координат Для деформации, названной изгибной, первые две компоненты вектора перемещения принимаются пропорциональными косинусу, синусу азимутального угла Общий случай (пропорциональность и соответственно пер) здесь не рассматривается. Вместо вводятся безразмерные переменные х,

где а — наружный радиус цилиндра. Для полого цилиндра длины 21 с внутренним радиусом

Аксиально-симметричный случай, как говорилось уже в п. 1.10 гл. IV, распадается на задачу о меридиональной деформации и задачу кручения. Решение первой может быть выражено через три функции Папковича — Нейбера (достаточно,

впрочем, двух). Сохраняя обозначения пп. 1.12 и 1.13 гл. IV, две из них назовем это гармонические функции; третья обозначается причем гармонической функцией является произведение

Здесь в обозначениях (7.1.1)

По (1.12.16) и (1.13.3) гл. IV перемещения выражаются через эти функции формулами

а отличные от нуля напряжения по (1.12.13), (l.13.5) гл. IV равны

В задаче о кручении отлично от нуля только перемещение и по (1.11.3) гл. IV отличные от нуля напряжения определяются из формул

причем гармоническая функция,

В случае изгибной деформации в рассмотрение вводятся четыре функции Функции гармонические, тогда как по (1.13.4) гл. IV дифференциальные уравнения, определяющие (при функции будут

и следует ввести в рассмотрение их полусумму и полуразность

Введенные функции определяются поэтому из дифференциальных уравнений

Выражения перемещений по (1.12.16) и (1.13.3) гл. IV приведутся к виду

Напряжения определяются формулами (1.12.13), (1.12.14) и

(см. скан)

Уравнения статики в цилиндрических координатах в аксиально-симметричном случае записываются по (1.10.3) гл. IV в виде: для меридиональной деформации

и для деформации кручения

Конечно, решения (7.1.6) и соответственно (7.1.7) удовлетворяют, при отсутствии массовых сил, этим уравнениям.

В задаче об изгибной деформации уравнения статики (1.9.4) гл. IV представляется в виде

причем штрихом указывается на замену в выражениях на и на в выражении

В аксиально-симметричном случае распределенные по поперечному сечению цилиндра напряжения приводятся к осевой силе и крутящему моменту:

С помощью уравнений равновесия (7.1.13) и (7.1.14) эти величины легко выразить через напряжения на внутренней и внешней поверхностях полого цилиндра:

где — осевая сила и крутящий момент в сечении

При деформации изгиба напряжения в поперечном сечении статически эквивалентны поперечной силе X и изгибающему моменту ту относительно оси у в плоскости

причем звездочками обозначены множители при в соответствующих выражениях напряжений. Выражая с помощью уравнений равновесия (7.1.15) через напряжения на поверхностях придем к формулам

Эти выражения легко непосредственно получить, рассматривая равновесие конечной части цилиндра между сечениями