6.14. Решение краевых задач пп. 6.2, 6.10 способом продолжения.

Начнем с рассмотрения случая диска в предположении, что поверхностные силы уравновешены. Краевые условия и уравнения равновесия записываются в виде [см. (6.2.4)]

По (6.13.8) с помощью формул имеем

и в соответствии со сказанным в п. 6.13 определяется голоморфная в функция

Это выражение, учитывая, что

можно записать также в виде

По (6.13.9) получаем

Но функция голоморфна в круге поэтому требуется приравнять нулю в выражении в скобках коэффициент при и постоянное слагаемое. Приходим к равенствам

Первое выражает условие обращения в нуль главного вектора поверхностных сил. Второму также можно удовлетворить; это следует из уравнения моментов вещественно). Конечно, определяется с точностью до мнимого слагаемого, которое может быть принято равным нулю. Приходим к уже известным результатам п. 6.3:

В случае плоскости с отверстием, записывая краевое условие в виде

по (6.13.8) имеем

Поэтому

и по

Эта функция голоморфна в бесконечно удаленной точке, и ее главная часть в ней равна С. Постоянные могут быть выражены через главный вектор поверхностных сил в отверстии и через напряжения и вращение на бесконечности. Сославшись на (6.10.1), (6.10.3), имеем

причем

Возвращаясь к (6.14.9), (6.14.11), приходим к таким выражениям искомых функций:

и это полностью согласуется с результатами п. 6.10.