ГЛАВА VII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Постановка плоских задач теории упругости

1.1. Плоская деформация.

Наименование «плоская задача» присвоено обширной и наиболее полно разработанной главе теории упругости. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединяемые математическим методом решения, — это задача о плоской деформации и задача о плоском напряженном состоянии.

В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения предполагаются не зависящими от координаты тогда как не зависит от а его зависимость от 2 может быть только линейной:

Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений

и, конечно, независимость от z остающихся компонент тензора напряжений.

Обобщенный закон Гука при этих условиях записывается в виде

Здесь

причем последнее представление следует из двух первых соотношений закона Гука (1.1.3). Заменив этим значением, приведем выражение к виду

и этим задача определения отодвигается на второй план, речь идет о разыскании плоского поля напряжений

Плоская деформация реализуется в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси интенсивность которых не зависит от Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1.1.1). Приближенно плоская деформация осуществляется в удаленной от торцов средней части тела конечного протяжения по оси Зависимость напряженного состояния от z учитывается в постановке задач Мичелла и Альманзи (§ 5 гл. VI), сводящихся к наложению задач Сен-Венана и плоской.

Уравнения статики плоской задачи в объеме записываются в виде

а на поверхности, иначе говоря, на контуре поперечного сечения тела,

Внешние силы — объемные и поверхностные, приложенные к любой выделенной из тела двумя поперечными сечениями его части, — должны находиться в равновесии. Это приводит к уравнениям равновесия, выражающим обращение в нуль их главного вектора

и главного момента относительно оси

Через обозначена площадь поперечного сечения тела.

Уравнения (1.1.8) легко получить, конечно, из уравнений статики (1.1.6), (1.1.7) с помощью преобразования

(кликните для просмотра скана)

Эти выражения позволяют определить через заданные объемные и поверхностные силы главный вектор и моменты напряжений в поперечном сечении тела:

где координаты его центра тяжести.

Если закрепления торцов не создают продольной силы, то и этим определяется введенная в формулы (1.1.1) постоянная если же не допускается продольное смещение то

Формулы (1.1.10), (1.1.11) определяют силовые факторы , простейших задач Сен-Венана (о растяжении и изгибе парами), решения которых следует наложить на решение задачи о плоской деформации призматического тела с ненагруженными торцами.