ГЛАВА VII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Постановка плоских задач теории упругости
1.1. Плоская деформация.
Наименование «плоская задача» присвоено обширной и наиболее полно разработанной главе теории упругости. В ней рассматриваются вопросы, отличающиеся по содержанию, но объединяемые математическим методом решения, — это задача о плоской деформации и задача о плоском напряженном состоянии.
В задаче о плоской деформации рассматривается частное решение уравнений теории упругости, в котором перемещения 
предполагаются не зависящими от координаты 
тогда как 
не зависит от 
а его зависимость от 2 может быть только линейной:
Очевидным следствием этих предположений является отсутствие напряжений 
и, конечно, независимость от z остающихся компонент 
тензора напряжений.
Обобщенный закон Гука при этих условиях записывается в виде
Здесь
причем последнее представление следует из двух первых соотношений закона Гука (1.1.3). Заменив 
этим значением, приведем выражение 
к виду
и этим задача определения 
отодвигается на второй план, речь идет о разыскании плоского поля напряжений 
Плоская деформация реализуется в призматическом теле, теоретически бесконечной длины, нагруженном поверхностными и объемными силами, перпендикулярными оси 
интенсивность которых не зависит от 
Тогда все поперечные сечения тела находятся в одинаковых условиях, чем оправдывается задание перемещений в форме (1.1.1). Приближенно плоская деформация осуществляется в удаленной от торцов средней части тела конечного протяжения по оси 
Зависимость напряженного состояния от z учитывается в постановке задач Мичелла и Альманзи (§ 5 гл. VI), сводящихся к наложению задач Сен-Венана и плоской.
Уравнения статики плоской задачи в объеме записываются в виде
а на поверхности, иначе говоря, на контуре 
поперечного сечения тела,
Внешние силы — объемные и поверхностные, приложенные к любой выделенной из тела двумя поперечными сечениями его части, — должны находиться в равновесии. Это приводит к уравнениям равновесия, выражающим обращение в нуль их главного вектора
и главного момента относительно оси 
Через 
обозначена площадь поперечного сечения тела.
Уравнения (1.1.8) легко получить, конечно, из уравнений статики (1.1.6), (1.1.7) с помощью преобразования
(кликните для просмотра скана)
в поперечном сечении тела:
координаты его центра тяжести.
и этим определяется введенная в формулы (1.1.1) постоянная 
если же не допускается продольное смещение 
то 
, простейших задач Сен-Венана (о растяжении и изгибе парами), решения которых следует наложить на решение задачи о плоской деформации призматического тела с ненагруженными торцами.
