7.10. Обобщенная ортогональность.

Трудность выполнения краевых условий на торцах цилиндра состоит в необходимости одновременного представления двух независимых функций рядами вида (7.9.4) по неортогональной системе решений, оставляющих боковую поверхность цилиндра свободной от нагружения («однородных решений»).

Эти решения обладают, однако, некоторым свойством «обобщенной ортогональности». Его можно использовать для точного выполнения одного из краевых условий, причем сохраняется произвол, допускающий возможность приближенного выполнения второго условия.

В рассмотрение вводятся функции

и их производные по аргументу

Здесь, как и ранее, корни трансцендентного уравнения

Однородные решения задачи о цилиндре (оставляющие его поверхность свободной от нагружения) в этих обозначениях представляются рядами

причем каждому корню соответствуют четыре слагаемых для значении (7.8.5) корня Ряды (7.10.4) при надлежащем выборе постоянных дают представления вещественных функции.

Вычисляемые по (7.10.4) напряжения определяются по формулам

Введенные функции обладают свойством обобщенной ортогональности (П. А. Шифф, 1883):

Это проверяется непосредственным вычислением. Имеем

Входящие сюда интегралы вычисляются по фврмулам

и в сказанном можно убедиться подстановкой в (7.10.6). Вместе с тем

П. А. Шифф и позже П. Ф. Папкович (1941) указали на возможность одновременного представления двух независимо задаваемых функций в форме рядов по функциям, обладающим свойством обобщенной ортогональности. В применении к функциям эти представления записываются в виде

Одинаковые коэффициенты этих рядов определяются с помощью свойства обобщенной ортогональности

Например, положив имеем

получили представление нуля в виде ряда по функциям с коэффициентами вычисляемыми по произвольно заданной функции

Функция может быть принята равной заданному на торце касательному напряжению

Тогда по (7.10.11)

Произвол в задании функции может быть использован для приближенного выполнения еще одного краевого условия. Так, если задать в виде

то коэффициенты окажутся линейными функциями параметров

Эти параметры можно определить, например, по условию минимума квадратичного отклонения заданного на торце нормального напряжения от его требуемого значения (7.10.5):

Приходим к системе линейных уравнений

Например, приняв

имеем

Входящие сюда интегралы вычисляются с помощью формул приведения

Напомним, что только статически эквивалентные нулю системы напряжений представимы в виде (7.10.5):

В случае цилиндра, растянутого осевыми сосредоточенными силами надо принять

Поэтому

и система линейных уравнений (7.10.17) приведется к виду

прочем теперь

Вычисление интегралов проводится по формулам (7.10.7) — (7.10.9) и получающимся из них дифференцированием по параметрам Трудности будут связаны с вычислением двойных рядов, представляющих коэффициенты при неизвестных в системе (7.10.19).