5.2. Распределение нормальных напряжений.

Обратимся теперь к рассмотрению зависимостей Бельтрами. Сохранив

обозначение плоского оператора Лапласа и представив первый инвариант тензора напряжений а в виде

можем удовлетворить этим зависимостям, полагая

причем второе и третье соотношения повторяют (5.2.3), а из последних следует, что линейные функции х, у. Их вид определяется интегральными условиями (5.1.11), (5.1.12):

Итак, распределение нормальных напряжений по поперечному сечению задается соотношением

а дифференциальные уравнения (5.2.4), (5.2.5) преобразуются к виду

Из сказанного здесь и в п. 5.1 видно, что задача Мичелла распадается на три задачи. Две из них «автономны» в том смысле, что построение их решений не требует решений прочих задач.

Первая состоит в разыскании напряжений Она тождественна задаче Сен-Венана об изгибе силон и кручении

стержня. Это следует из совпадения системы уравнений (5.1.9), (5.1.15), (5.1.18), (5.2.11) с системой (1.5.4), (1.5.1), (1.5.3), (1.5.2) после замены соответственно на Вторая задача — разыскание она возникает при наличии растягивающих поверхностных сил которыми определяются силовые факторы входящие в систему уравнений (5.1.8), (5.1.14), (5.1.17), (5.2.10), определяющих эти напряжения. При некоторой замене обозначений ее можно свести к краевым задачам Сен-Венана и еще к одной краевой задаче для уравнения Лапласа (п, 5.3). Наиболее сложна третья задача — определение попутно находится Она сводится к плоской задаче теории упругости (гл. VII), постановка которой требует знания решений двух предшествующих задач.