5.2. Распределение нормальных напряжений.
Обратимся теперь к рассмотрению зависимостей Бельтрами. Сохранив
обозначение
плоского оператора Лапласа и представив первый инвариант тензора напряжений а в виде
можем удовлетворить этим зависимостям, полагая
причем второе и третье соотношения повторяют (5.2.3), а из последних следует, что
линейные функции х, у. Их вид определяется интегральными условиями (5.1.11), (5.1.12):
Итак, распределение нормальных напряжений по поперечному сечению задается соотношением
а дифференциальные уравнения (5.2.4), (5.2.5) преобразуются к виду
Из сказанного здесь и в п. 5.1 видно, что задача Мичелла распадается на три задачи. Две из них «автономны» в том смысле, что построение их решений не требует решений прочих задач.
Первая состоит в разыскании напряжений
Она тождественна задаче Сен-Венана об изгибе силон и кручении
стержня. Это следует из совпадения системы уравнений (5.1.9), (5.1.15), (5.1.18), (5.2.11) с системой (1.5.4), (1.5.1), (1.5.3), (1.5.2) после замены
соответственно на
Вторая задача — разыскание
она возникает при наличии растягивающих поверхностных сил
которыми определяются силовые факторы
входящие в систему уравнений (5.1.8), (5.1.14), (5.1.17), (5.2.10), определяющих эти напряжения. При некоторой замене обозначений ее можно свести к краевым задачам Сен-Венана и еще к одной краевой задаче для уравнения Лапласа (п, 5.3). Наиболее сложна третья задача — определение
попутно находится
Она сводится к плоской задаче теории упругости (гл. VII), постановка которой требует знания решений двух предшествующих задач.