4.4. Нагружение боковых граней.

Вычисления с помощью формул (4.2.13) можно продолжать двумя путями — применением теоремы о вычетах и непосредственным вычислением входящих в них интегралов.

Первый способ требует знания корней функций (4.2.12), находимых решением уравнений

Корни расположены симметрично в четырех квадрантах плоскости

В воспроизводимых здесь табличках приведены для нескольких значений а значения этих корней. Их асимптотические значения (при больших даются формулами

Общее представление формул (4.2.13) может быть записано в виде

причем где достаточно мало. Применение теоремы о вычетах приводит к различным аналитическим представлениям решения при . При иначе говоря, в области, примыкающей к вершине клина, вычисление ведется по полюсам, расположенным слева от прямой

тогда как продолжение решения в область характеризующее поведение напряжений на бесконечности, строится по полюсам справа от этой прямой:

Таблица 14 (см. скан)

Функции напряжений при поэтому представляются рядами вида

и напряжения в вершине клина будут стремящимися к нулю или бесконечности в зависимости от знака неравенства

Исследование корней показывает, что при симметричном нагружении (уравнение ) имеет место неравенство

с верхним знаком при тогда как при имеется вещественный корень, меньший 2а. В кососимметричном случае (уравнение ) перемена знака неравенства происходит при значении определяемом по напряжения в вершине клина стремятся к нулю при и к бесконечности при

Например, в случае симметричного нагружения при имеем тогда как при в первом примере напряжения в вершине клина отсутствуют, во тором — бесконечны. В случае кососимметричного нагружения при этих значениях а имеем соответственно напряжения отсутствуют, тогда как при имеется корень

Поведение функций напряжений при в соответствии с (4.4.6) представляется рядом вида

причем в числе этих корней имеется а при кососимметричном нагружении и корень напряжения на бесконечности имеют порядок у. Главный член этих рядов при симметричном, равно как и при кососимметричном, нагружении обусловлен корнем это решение (4.2.17), определяемое главным вектором поверхностных сил. При симметричном нагружении напряжения, находимые по следующим слагаемым ряда (4.4.9), затухают при значительно быстрее, чем При кососимметричном распределении поверхностных сил и равенстве нулю их главного вектора напряжения, обусловленные действием главного момента (корень имеют порядок но при не этот член ряда является главным; на это уже указывалось в п. 4.2 [см. формулу (4.2.23)].

Дальнейшее рассмотрение проводится для случая симметричного нагружения равномерно распределенным по участкам давлением так что по (4.2.11)

Возвращаясь к формуле получим следующее выражение нормального напряжения

Оно значительно упрощается при действительно, преобразовав числитель к виду

и сославшись на (4.4.10), получим

причем путь интегрирования — прямая, параллельная мнимой оси плоскости проведенная слева от нее и сколь угодно к ней близко .

При интеграл равен произведению на сумму вычетов по полюсам

в левой полуплоскости; поэтому

При в число полюсов подынтегральной функции в правой полуплоскости

включается полюс в нуле; сумма вычетов умножается на Получаем

Ряды хорошо сходятся, так как числа быстро возрастают с ростом номера

Интеграл в формуле (4.4.12) можно представить в вещественной форме, разбивая его на интегралы по мнимой оси от до 0, по полукругу радиуса слева от начала координат и по мнимой оси от 0 до Тогда

Интеграл вычисляется численно; возникающие при этом затруднения связаны с сильными колебаниями функции при близких к нулю и очень больших.