ПРИЛОЖЕНИЕ VI. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

VI.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа.

В случае сферических координат решение уравнения Лапласа (III. 8.5)

в котором введена вместо О независимая переменная

разыскивается в форме произведения

Постоянную разделения назовем ; она не изменяет своей величины при замене на . Приходим к двум дифференциальным уравнениям для искомых функций

Далее будет достаточно считать целым положительным числом. Из двух частных решений уравнения (VI. 1.4)

первое используется при решении внутренней краевой задачи для сферы второе — внешней решение краевых задач для полой сферы требует введения обоих решений.

В сфероидальных координатах (координатах сжатого эллипсоида) по (III. 10.10) имеем

и, полагая

приходим после разделения переменных к дифференциальным уравнениям

или, вводя новое обозначение для постоянной разделения,

Уравнение (VI. 1.10) приводится к виду (VI. 1.9) при замене на Отметим также тождественность уравнений (VI. 1.10) и (VI. 1.5).

Переходим к случаю эллиптических координат определенных в п. III. 11. Разыскивая решение уравнения Лапласа (III. 11.25) в виде «произведений Ляме»

приведем его к виду

Вместе с тем имеем очевидное тождество

в котором любые постоянные. Учитывая его, можно переписать предшествующее равенство в виде

и, пользуясь произволом выбора приравнять нулю величины в фигурных скобках. Придем к трем дифференциальным уравнениям второго порядка:

Здесь введено новое обозначение для постоянной