ПРИЛОЖЕНИЕ VI. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ СФЕРИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
VI.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа.
В случае сферических координат решение уравнения Лапласа (III. 8.5)
в котором введена вместо О независимая переменная
разыскивается в форме произведения
Постоянную разделения назовем 
; она не изменяет своей величины при замене 
на 
. Приходим к двум дифференциальным уравнениям для искомых функций 
Далее будет достаточно считать 
целым положительным числом. Из двух частных решений уравнения (VI. 1.4)
первое используется при решении внутренней краевой задачи для сферы 
второе — внешней 
решение краевых задач для полой сферы 
требует введения обоих решений.
В сфероидальных координатах (координатах сжатого эллипсоида) по (III. 10.10) имеем
и, полагая
приходим после разделения переменных 
к дифференциальным уравнениям
или, вводя новое обозначение 
для постоянной разделения,
Уравнение (VI. 1.10) приводится к виду (VI. 1.9) при замене 
на 
Отметим также тождественность уравнений (VI. 1.10) и (VI. 1.5).
Переходим к случаю эллиптических координат 
определенных в п. III. 11. Разыскивая решение уравнения Лапласа (III. 11.25) в виде «произведений Ляме»
приведем его к виду
Вместе с тем имеем очевидное тождество
в котором 
любые постоянные. Учитывая его, можно переписать предшествующее равенство в виде
и, пользуясь произволом выбора 
приравнять нулю величины в фигурных скобках. Придем к трем дифференциальным уравнениям второго порядка:
Здесь введено новое обозначение 
для постоянной 
