VI.6. Представление гармонических полиномов произведениями Ляме.

В теории функций Ляме доказываемся, что произведения Ляме (VI. 1.11) при целом и при надлежащем выборе в дифференциальных уравнениях (VI. 1.12) - (VI. 1.14) представляются гармоническими полиномами степени

Для применений в этой книге достаточно рассмотреть случаи .

1°. . Тогда, конечно,

И упомянутые уравнения удовлетворяются при

2°. . Имеются три гармонических полинома первой степени — это сами декартовы координаты, представимые по (III. 11.12) в виде

и для них надо принять

апостоянную принять соответственно равной

3°. . Три из пяти гармонических полиномов второй степени непосредственно угадываются. Это произведения

для которых

что сразу же следует из (VI. 6.3). В этом случае

Для построения еще двух гармонических полиномов второй степени потребуем, чтобы левая часть основного тождества (III. 11.11)

удовлетворяла уравнению Лапласа

Отсюда получаем два значения постоянной

которым соответствуют гармонические полиномы

Для них

а значения постоянной в уравнениях (VI. 1.12) - (VI. 1.14) соответственно будут