1.7. Решение Буссинека-Галеркина.
Искомое выражение вектора
через
можно получить, приравнивая дивергенции обеих частей равенства (1.6.9). Имеем
и после подстановки в (1.6.9) получим
Можно удовлетворить этому соотношению, введя представление
и
через вектор
в виде
Вектор
по (1.7.1) оказывается бигармоническим:
Выражения вектора перемещения и тензора напряжений через вектор
по (1.6.13) и (1.6.10) записываются в виде
Эта форма решения уравнений теории упругости была дана Б. Г. Галеркиным (1930) и ранее была известна Буссинеку (1878).
Основываясь на (1.7.1) и (1,6.13), можно сразу же получить и решение в форме Папковича — Нейбера. Достаточно заметить, что уравнение (1.7.1) не отличается от уравнения в перемещениях (1,3.2), если отождествить
с потенциалом объемной силы
Тогда по (1.4.7)
, и, записав решение уравнения (1.7.1) в виде (1.4.10):
по (1.6.13) придем к представлению вектора перемещения в упомянутой форме (при отсутствии массовых сил).
Нетрудно также установить связь между векторами
По (1.7.6) и (1.7.2) имеем
так что по (1.7.3), (1.4.9)
и можно принять