1.7. Решение Буссинека-Галеркина.

Искомое выражение вектора через можно получить, приравнивая дивергенции обеих частей равенства (1.6.9). Имеем

и после подстановки в (1.6.9) получим

Можно удовлетворить этому соотношению, введя представление и через вектор в виде

Вектор по (1.7.1) оказывается бигармоническим:

Выражения вектора перемещения и тензора напряжений через вектор по (1.6.13) и (1.6.10) записываются в виде

Эта форма решения уравнений теории упругости была дана Б. Г. Галеркиным (1930) и ранее была известна Буссинеку (1878).

Основываясь на (1.7.1) и (1,6.13), можно сразу же получить и решение в форме Папковича — Нейбера. Достаточно заметить, что уравнение (1.7.1) не отличается от уравнения в перемещениях (1,3.2), если отождествить с потенциалом объемной силы Тогда по (1.4.7) , и, записав решение уравнения (1.7.1) в виде (1.4.10):

по (1.6.13) придем к представлению вектора перемещения в упомянутой форме (при отсутствии массовых сил).

Нетрудно также установить связь между векторами По (1.7.6) и (1.7.2) имеем

так что по (1.7.3), (1.4.9)

и можно принять