7.5. Кручение полого цилиндра силами, распределенными по торцу.

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

7.5. Кручение полого цилиндра силами, распределенными по торцу.

Задача состоит в разыскании перемещения из дифференциального уравнения (7.1.8) по краевым условиям на боковых поверхностях цилиндра

и на его торцах

Предполагается, что распределение касательных напряжений на обоих торцах одинаково. Решение разыскивается в виде

где надлежащим образом определяемые постоянные. По

и краевые условия (7.5.1), (7.5.2) приводят к требованиям

Функции определяются по (7.1.8) из дифференциального уравнения Бесселя

общее решение которого представляется цилиндрической функцией

где бесселева и нейманнова функции первого порядка, причем по (7.5.5), используя известную формулу дифференцирования, имеем

Числа определяются корнями определителя этой системы

и выражение представляется в виде

Задача сведена к определению постоянных С, по условию (7.5.6). Постоянная а определяется по крутящему моменту

так как остальные слагаемые, по (7.5.4) и (7.5.7), не влияют на выражение крутящего момента 1

Ортогональность системы функций легко проверяется; в известной формуле

надо заменить выражением

и учесть (7.5.7). При получаем

Вместе с тем

Теперь из краевого условия (7.5.6), учитывая (7.5.11), получаем

и решение задачи представляется в виде

где определяется по (7.5.9). Таблица корней трансцендентного уравнения (7.5.8) для нескольких значений имеется в справочнике Янке и Эмде.

Таблица 4

В формуле (7.5.14) отсчет осевой координаты проводился от среднего сечения цилиндра; называя через осевую координату, отсчитываемую от «верхнего» торца, имеем так что

Даже для «кубообразного» цилиндра (с длиной, равной диаметру, для значений приведенных в табл. мало отличается от единицы, и поэтому

так что слагаемые ряда (7.5.14) экспоненциально убывают при удалении от торцов. Полученное решение, представляя эффект любого распределения напряжений статически эквивалентного крутящему моменту показывает, что влияние закона распределения этих напряжений экспоненциально убывает с возрастанием расстояния от торцов. Принцип Сен-Венана оправдывается здесь с большей точностью, чем можно было ожидать по общим оценкам п. 2.14.