§ 5. Задача Мичелла

5.1. Постановка задачи.

Эта впервые рассмотренная Мичеллом (1900) задача является естественным продолжением задачи Сен-Венана. Рассматривается напряженное состояние в призматическом стержне, равномерно нагруженном по его боковой поверхности; краевые условия (1.1.3), (1.1.4) задачи Сен-Венана на этой поверхности поэтому должны быть записаны в виде

где как выше, — контур поперечного сечения, отсчитываемая по нему дуга.

Поскольку принимается принцип Сен-Венана, а решение задачи Сен-Венана предполагается известным, можно, не в ущерб общности, считать правый торец свободным от нагружения; в ранее принятых обозначениях (1.2.3), (1.2.4) это условие записывается в виде

В рассмотрение вводятся интегральные величины; это проекции главного вектора сил, распределенных по контуру любого

поперечного сечения 2,

и их главные моменты относительно осей с началом в этом сечении

Как и выше, принято, что центр инерции сечения, х, у — главные оси инерции в этой точке, 2— продольная ось стержня.

Три интегральных уравнения равновесия отрезка стержня выражающих обращение в нуль главного вектора приложенных к нему внешних сил, записываются в виде

Моменты относительно осей системы сил, распределенных по боковой поверхности этого отрезка стержня, равны

и поэтому остающиеся три интегральных уравнения равновесия будут иметь вид

Следуя идее полуобратного метода Сен-Венана, удовлетворим этим уравнениям, приняв, что линейно, квадратично зависят от 2:

где введенные в рассмотрение семь функций должны удовлетворять интегральным условиям

Обратимся теперь к уравнениям статики в объеме; подстановка в них выражений (5.1.7) приводит к системам уравнений

Их следует рассматривать при краевых условиях: для системы (5.1.13):

а для систем (5.1.14), - при условиях: