§ 5. Задача Мичелла
5.1. Постановка задачи.
Эта впервые рассмотренная Мичеллом (1900) задача является естественным продолжением задачи Сен-Венана. Рассматривается напряженное состояние в призматическом стержне, равномерно нагруженном по его боковой поверхности; краевые условия (1.1.3), (1.1.4) задачи Сен-Венана на этой поверхности поэтому должны быть записаны в виде
где
как выше, — контур поперечного сечения,
отсчитываемая по нему дуга.
Поскольку принимается принцип Сен-Венана, а решение задачи Сен-Венана предполагается известным, можно, не в ущерб общности, считать правый торец
свободным от нагружения; в ранее принятых обозначениях (1.2.3), (1.2.4) это условие записывается в виде
В рассмотрение вводятся интегральные величины; это проекции главного вектора сил, распределенных по контуру
любого
поперечного сечения 2,
и их главные моменты относительно осей
с началом в этом сечении
Как и выше, принято, что
центр инерции сечения, х, у — главные оси инерции в этой точке, 2— продольная ось стержня.
Три интегральных уравнения равновесия отрезка стержня
выражающих обращение в нуль главного вектора приложенных к нему внешних сил, записываются в виде
Моменты относительно осей системы
сил, распределенных по боковой поверхности этого отрезка стержня, равны
и поэтому остающиеся три интегральных уравнения равновесия будут иметь вид
Следуя идее полуобратного метода Сен-Венана, удовлетворим этим уравнениям, приняв, что
линейно,
квадратично зависят от 2:
где введенные в рассмотрение семь функций
должны удовлетворять интегральным условиям
Обратимся теперь к уравнениям статики в объеме; подстановка в них выражений (5.1.7) приводит к системам уравнений
Их следует рассматривать при краевых условиях: для системы (5.1.13):
а для систем (5.1.14),
- при условиях: