§ 6. Плоская задача

6.1. Геометрические соотношения.

В состоянии плоской деформации координаты точек среды связаны с их координатами в начальном состоянии зависимостями

Введя материальные координаты имеем

причем здесь и в дальнейшем (пп. 6.1-6.9) греческие индексы принимают значения 1, 2 (латинские, как и ранее, — значения 1, 2, 3). Вектор-радиусы точки в начальном (v-объем) и в деформированном состояниях -объем) равны

и базисные векторы в этих состояниях будут

Ковариантные компоненты метрических тензоров определяются теперь формулами

так что

Их контравариантные компоненты (отличные от нуля) равны

Этим в рассмотрение вводятся плоские метрические тензоры и -объемах:

причем векторы взаимных базисов определяются известными равенствами

В записи компонент тензоров Леви-Чивита опускается третий индекс 3:

где

Пользуясь ими, можно переписать формулы (6.1.7) и им обратные в виде

Инварианты меры деформации определяемые формулами (5.2.6) — (5.2.8) гл. II, равны

Сославшись на (6.1.12), имеем

Но нетрудно, пользуясь определениями (6.1.11), проверить соотношения

Поэтому

чем устанавливается соотношение, связывающее инварианты:

6.2. Уравнение состояния.

Удельная потенциальная энергия деформации далее рассматривается как функция инвариантов

так что

Уравнение состояния (2.1.9) гл. VIII может быть записано в виде

и по

Заменив инвариант его значением (6.1.13) и используя (6.2.2), имеем, далее,

При фиксированных возможны четыре сочетания значений

Поэтому (не суммировать по

так что по (6.1.6), (6.1.7)

и, возвращаясь к (6.2.4), (6.2.2), имеем

Для несжимаемой среды

так что

где наперед неизвестная функция координат.

6.3. Уравнения статики.

При отсутствии массовых сил уравнения равновесия в объеме записываются в виде

Но не зависят от поэтому последнее уравнение тождественно удовлетворяется, а первая группа уравнений записывается в виде

или

причем символы Кристоффеля вычисляются по метрическому тензору В.

Уравнения равновесия на поверхности могут быть записаны в одной из форм (3.3.7) или (3.3.8) гл. I:

причем ковариантные компоненты единичных векторов внешних нормалей к контурам у, поперечного сечения тела в начальном и соответственно в деформированном состояниях тела:

Через обозначены контравариантные компоненты поверхностной силы:

6.4. Функция напряжений.

Тензор функций напряжений (п. 1.6 гл. I) задается в виде

а тензор напряжений определяется по нему равенством (1.6.6) гл. I:

Здесь не рассматривается независимо определяемая по (6.2.3) компонента

Вычисление проводится так:

По условию обращения в нуль ковариантной производной тензора Леви-Чивита

имеем, изменив наименования немых индексов,

и подстановка в (6.4.2) приводит к следующему представлению тензора напряжений:

Величина в скобках представляет ковариантную производную ковариантных компонент градиента

Итак,

Обратные соотношения имеют вид

и по

Выражение первого инварианта тензора напряжений представляется в виде

Как и следовало ожидать, он оказался равным лапласиану над (в метрике деформированного тела):

Единичные векторы касательной и нормали плоской кривой в деформированном теле

определяются, в предположении, что ориентированы, как оси по формулам

Вектор напряжения, передаваемого частью среды «над » (куда направлен вектор на среду, расположенную «под », равен

Вместе с тем, как указывалось выше,

и поэтому

Этой формулой определен главный вектор напряжений по дуге кривой его можно представить также в виде

так что

Это — обобщение формул (1.8.4) гл. VII. В них — контравариантные компоненты главного вектора напряжений в метрике деформированного тела.

Главный момент напряжений на дуге кривой относительно начала координат в плоскости представляется интегралом

Обратившись к соотношению

приходим к такому выражению главного момента относительно оси

Здесь дано обобщение формулы (1.8.5) гл. VII.

6.5. Плоское напряженное состояние.

Рассматривается тело, имеющее в начальном состоянии (v-объем) форму плиты малой по сравнению с ее размерами в плане постоянной толщины Торцы плиты не нагружены, а поверхностные силы на ее боковой поверхности параллельны срединной плоскости плиты и распределены симметрично относительно этой плоскости. Предполагается, что они сохраняют эти свойства (параллельность и симметричность относительно срединной плоскости) в деформированной плите (V-объем), так что напряженное состояние в ней симметрично относительно срединной плоскости

Материальные координаты вводятся соотношениями

Поэтому векторы исходного и взаимного базисов в -объеме равны

и ко- и контравариантные компоненты метрического тензора -объема определяются формулами (6.1.5), (6.1.7).

Единичный вектор нормали к площадке сонаправленный с вектором взаимного базиса, определяется по формуле

Поэтому вектор напряжений на этой площадке равен

а их главный вектор по толщине плиты, обозначаемый будет

Введя обозначения

и замечая, что вследствие симметрии напряженного состояния, нечетны по

приходим к формулам

Функции можно рассматривать как контравариантные компоненты поверхностного симметричного тензора

На поверхности ограничивающей деформированную плиту,

и векторы (отличные от базисных векторов

расположены в ее касательной плоскости, а вектор

сонаправлен с единичным вектором нормали к ней. Замечай, что

получаем

Условие отсутствия нагружения на этой поверхности принимает вид

Из получающихся трех соотношений

исключаются компоненты тензора напряжений. Приходим к уравнению:

6.6. Уравнения равновесия.

Уравнения статики в объеме при отсутствии объемных сил, записываемые в виде

интегрируются по толщине плиты. Приходим к равенству

Пределы интеграла зависят от поэтому

и равенство (6.6.1) записывается в виде

Величина в квадратных скобках по (6.5.12) обращается в нуль. Обратившись теперь к формулам (6.5.6), (6.5.7), приходим к уравнению равновесия, в которое входят только величины, определяемые на средней поверхности:

Они целиком повторяют уравнения статики (6.3.1) задачи о плоской деформации. Поэтому им можно удовлетворить, введя в рассмотрение функцию напряжений так что по (6.4.4)

На боковой поверхности деформированной плиты

где — дуга кривой ограничивающей поперечное сечение в срединной плоскости Векторы

расположены в касательной плоскости этой поверхности, а вектор

сонаправлен с нормалью к ней; это — единичный вектор нормали, так как

Здесь использована формула (6.1.12) и учтено, что

Поверхностная сила на поверхности (6.6.4) определяется равенством

или

Главный вектор этих сил по толщине плиты по (6.5.6), (6.5.7) равен

Пришли к равенству (6.4.10); из него, повторив сказанное в п. 6.4, можно получить краевые условия (6.4.13), (6.4.14) для функции напряжений

6.7. Уравнение состояния.

Вследствие предположенной симметрии деформации относительно плоскости декартовы координаты точки в начальном состоянии плиты четны, нечетна по Поэтому

где X — неизвестная функция

Эти соотношения позволяют записать выражения компонент метрического тензора определителя в виде (6.1.5), (6.1.7):

Повторив вычисление п. 6.1, приходим также к выражениям (6.1.13), (6.1.15) инвариантов меры деформации

и к соотношению связи между ними (6.1.16). Это позволяет записать в форме (6.2.3), (6.2.5) выражения компонент тензора напряжения на срединной плоскости:

В случае несжимаемой среды приходим к формулам (6.2 7), (6.2.8). Для весьма тонкой пластинки в соответствии с (6.7.1) имеем

и при

При этой степени точности связь компонент тензора напряжений на срединной плоскости с компонентами осредненных внутренних усилий может быть определена из соотношения

так что

По (6.5.13), (6.7.5) имеем также

и при можно принять

6.8. Система уравнений задачи о плоском напряженном состоянии.

В предположении малости толщины плиты задача о напряженном состоянии при симметричном нагружении ее боковой поверхности сведена к рассмотрению величин на срединной плоскости. Разыскивается не тензор напряжений, а усредненные значения основных напряжений тогда как остальные компоненты этого тензора, вследствие их малости сравнительно с основными, исключены из рассмотрения.

Две группы соотношений, определяющих симметричный тензор осредненных напряжений, сводятся к уравнению статики

и к уравнениям состояния

Здесь функция инвариантов

представляющая выражение удельной потенциальной энергии деформации из которого инвариант исключен с помощью соотношения

Дополнительное условие, служащее для определения неизвестной функции выражает требование отсутствия напряжения на срединной поверхности:

Краевое условие на контуре сечении плиты срединной плоскостью — представляется соотношением

где главный вектор поверхностных сил на боковой поверхности:

Уравнениям статики можно удовлетворить, выражая напряжения через функцию напряжений

Обратные соотношения имеют вид

Краевые условия для функции напряжений даются формулами (6.4.11) — (6.4.14).

В случае несжимаемого тела

и неизвестная скалярная функция вводимая вместо определяется из уравнений статики, дополненных этим условием.

6.9. Применение логарифмической меры в задаче о плоской деформации.

В плоском поле перемещений (6.2.1) гл. II главные значения тензоров или равны (см. п. 3.5 гл. VIII). Через х обозначается угол поворота, совмещающего оси с главными осями тензора

Эти оси совмещаются с осями тензора поворотом на угол , так что

Вместе с тем по (3.4.5) гл. II имеем

или

Приходим к соотношениям

позволяющим выразить величины через четыре инвариантных параметра

Эти параметры связаны условиями интегрируемости

Заметим также, что представления компонент тензора в осях OXYZ даются формулами [см., например, (1.3.14)]

а соосная с логарифмическая мера деформации определяется ее компонентами

В случае плоской деформации несжимаемого материала и эти выражения упрощаются:

а величины представляются в виде

Компоненты тензора напряжений для несжимаемого материала с равной нулю фазой подобия и согласно (3.5.14) гл. VIII и (6.9.4) оказываются равными

Для определения четырех неизвестных параметров имеется такое же число уравнений — два уравнения статики и два условия интегрируемости (6.9.2).

6.10. Плоская деформация несжимаемого материала с равной нулю фазой подобия девиаторов.

Уравнения статики при отсутствии массовых сил можно записать в виде

За независимые переменные приняты координаты точки в деформированном состоянии тела. Обратившись к формулам (6.9.6), получим

Этому соотношению можно удовлетворить, полагая

и, поскольку вещественно, надо принять, введя вещественную функцию

Приходим к соотношениям, которые можно было предвидеть:

и функция оказалась, конечно, функцией Эри плоской задачи:

Следствием первого соотношения (6.10.3) является формула, связывающая величину с функцией напряжений:

Из нее можно определить производные по

Из того же соотношения (6.10.3) имеем

и, далее, учитывая (6.10.5), (6.10.6),

и аналогичное уравнение для производной по

Возвращаясь к соотношениям (6.9.5), представим их в виде

причем Из них находим обратные соотношения

Записав условия их интегрируемости

придем к двум уравнениям:

В них следует заменить величины

их значениями по (6.10.6) — (6.10.8). Это позволит выразить производные от а по через производные функции напряжений и величину (параметр а исключен). Вслед за этим условие интегрируемости

приведет к дифференциальному уравнению четвертого порядка для функции напряжений в которое войдет также величина Но последняя связана с соотношением (6.10.5).

Переход к исходным независимым переменным , осуществляется с помощью соотношений

с последующей заменой производных вида (6.10.12) их значениями.

Не останавливаемся на не представляющих затруднений записях краевых условий.

6.11. Пример. Радиально-симметричная деформация.

При такой деформации

причем - вещественная функция. По (6.10.9) имеем

так что

Отсюда находим

и далее

так что где радиус отверстия в деформируемом цилиндрическом теле.

Теперь, сославшись, например, на формулу (1.13.8) гл. VII, по (6.10.3) и (6.11.2) имеем

и, далее,

Здесь, как и выше, штрихом обозначается производная по Теперь находим

и дифференциальное уравнение равновесия (6.11.5) приводится к виду

После замены его значением по (6.11.4)

и введения новой независимой переменной (вместо

приходим к легко интегрируемому дифференциальному уравнению относительно

Из него имеем

после чего по определяется и далее то есть по - сумма нормальных напряжений, а значит, и каждое из напряжений Не останавливаемся на этом вычислении и на определении постоянных по краевому условию.