6.2. Способ решения задачи о жестком штампе.

В п. 2.3 была рассмотрена задача Буссинека о напряженном состоянии упругого полупространства, на границе которого отсутствуют касательные напряжения а нормальное напряжение распределено по заданному закону. Решение сводилось к разысканию гармонической функции со (по ней квадратурами определялась еще одна гармоническая функция которая была определена потенциалом простого слоя, распределенного по площади загружения с плотностью, равной интенсивности нормального давления

Касательные и нормальные напряжения на площадках определялись по формулам (2.3.5):

а перемещения — формулами (2.3.4):

Известно, что нормальная производная потенциала простого слоя, распределенного по плоской области, определяется равенством (2.3.6):

Поэтому, сославшись на (6.2.2), можно заключить, что решение, определяемое через потенциал со, удовлетворяет условиям (6.1.4), (6.1.5) задачи о жестком штампе, причем требуется подчинить выбор плотности условию (6.1.11). Оно по (6.2.4) сводится к интегральному уравнению первого рода для искомого распределения нормального давления

или, в случае плоского штампа, по (6.1.12)

Решение задачи в замкнутом виде можно получить в предположении, что областью соприкасания является эллиптическая площадка, ограниченная эллипсом

Для плоского штампа полуоси задаются формой его прижатой поверхности. В задаче о неплоском штампе уравнение поверхности представляется ее разложением в степенной ряд, начинающийся, согласно (6.1.2), с членов второй степени относительно

При надлежащем выборе направлений осей слагаемое, содержащее произведение может быть сделано равным нулю. Тогда

Здесь кривизны главных нормальных сечений поверхности в точке касания ее с плоскостью, ограничивающей полупространство. Предполагается, что они положительны и что через обозначен больший из двух радиусов кривизны.

В уравнении (6.2.9), удовлетворяясь рассмотрением только локальных эффектов, ограничимся учетом лишь написанных членов второй степени; это значит, что поверхность аппроксимируется в области ее касания с плоскостью эллиптическим параболоидом. Теперь краевое условие (6.2.6) записывается в виде

— мы ограничиваемся в задаче о неплоском штампе только случаем его поступательного перемещения . Область интегрирования , как указывалось выше, считается расположенной внутри эллипса его параметры теперь наперед неизвестны. Они определяются в конечном счете по заданию прижимающей силы и кривизн прижимаемой

поверхности. Принимается, что на давление обращается в нуль, то есть выполнено условие (6.1.13).

Следует отличать границу площадки контакта (эллипс от контура поперечного сечения штампа плоскостью

Эллиптическая пластинка, имеющая «верх» и «низ» ограниченная фокальным эллипсом представляет одну из координатных поверхностей семейства эллипсоидов в системе эллиптических координат [см. п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно ввести в рассмотрение потенциал простого слоя на поверхности эллипсоида определив эту непрерывную гармоническую функцию ее значением и на Можно для задачи о плоском штампе по (6.2.6) принять

а по (6.2.10) для неплоского штампа

Теперь, составив решения внутренней и внешней задач Дирихле при этих заданиях на поверхности эллипсоида придем к функции

непрерывной во всем пространстве и обращающейся на бесконечности в нуль; она представляет потенциал простого слоя с плотностью определяемой равенством

Поскольку плоскость является плоскостью симметрии эллипсоида а заданные на этой поверхности значения функций не зависят от то плотность будет четна относительно

Для определения потенциала простого слоя на эллиптической пластинке остается провести предельный переход

Потенциал удовлетворяет условиям (6.1.11) или (6.1.12) на поверхности пластинки При вычислении плотности следует иметь в виду, что на каждый элемент площади пластинки лягут два симметрично расположенных относительно плоскости элемента эллипсоида с одинаковой плотностью; поэтому плотность распределения слоя на , получаемая в предельном переходе по формуле (6,2,14), должна быть удвоена:

Этим определяется интенсивность давления по поверхности соприкасания штампа с упругой средой,

В предложенном способе решения избегнуто непосредственное рассмотрение интегральных уравнений первого рода (6.2,6), (6.2,7); кроме того, отпадает вычисление интеграла (6.2.1) по найденной плотности — функция со строится по (6.2.15), что предполагает лишь знание решения внешней задачи Дирихле для эллипсоида (см. . VI. 8).