5.11. Интегралы типа Коши. Формулы Сохоцкого — Племели.

Пусть - заданная на функция; ограничиваясь предположением, что интеграл

ограничен, можно доказать, что функции

называемые интегралами типа Коши, голоморфны — первая в -области, вторая в Этими равенствами определена во всей плоскости 2, исключая функция

Следует отличать значения на контуре предельные изнутри и извне:

от ее «прямого значения», определяемого главным значением интеграла типа Коши:

Связь между этими величинами дается формулами Сохоцкого — Племели

Их можно записать также в виде

Если известно, что функция на всей плоскости, исключая контур голоморфна и равна нулю на бесконечности, а на задана разность ее значений изнутри и извне то по первой формуле (5.11.7)

Легко доказывается ссылкой на известную теорему Лиувилля (голоморфная во всей плоскости функция может быть только постоянной) единственность этого решения. Если же наперед известно, что на бесконечности растет не быстрее, чем а в точке имеет полюс порядка то

где произвольный полином степени, — некоторые постоянные.