4.2. Растяжение однополого гиперболоида вращения.

С целью определения концентрации напряжений в глубинной выточке на поверхности цилиндрического стержня Нейбер рассмотрел ряд задач о равновесии тела, ограниченного поверхностью однополого гиперболоида вращения (рис. 18), при различных заданиях главного вектора и главного момента внешних сил на торцевых поверхностях ненагруженного по боковой поверхности деформируемого тела. В этом пункте рассматривается задача растяжения, а далее — кручения и изгиба. В рассмотрение вводятся криволинейные ортогональные координаты п. III. 10

причем (по III. 10.7) и на оси вращения гиперболоида на ненагруженной поверхности гиперболоида Краевые условия (4.1.9) записываются в виде

Рис. 18.

тогда как распределение напряжений на части поверхности любого эллипсоида ограниченного поверхностью удовлетворяет условию (4.1.11) или (4.1.15):

так как здесь Напряжения с ростом убывают не медленнее, чем

Обращаясь к формулам (1.12.13) гл. IV, имеем следующие выражения напряжений через осесимметричные гармонические функции

Из этих выражений следует, что с ростом функция должна возрастать не быстрее убывать не медленнее, чем

Осесимметричной гармонической функцией, растущей, как является

Она не остается ограниченной на оси гиперболоида (при но эту особенность можно исключить, добавляя к (4.2.4) решение [см. (VI. 3.3)]. Поэтому одним из используемых решений, входящих в состав будет

Осесимметричными решениями уравнения Лапласа, убывающими, как являются по (VI. 3.7) и (VI. 1.8) функции

Первое принимается за второе включается в Итак, полагаем

После вычисления по формулам (4.2.3) краевые условия (4.2.1), которым надо удовлетворять при любом записываются в виде

Нет ничего неожиданного в том, что в правильно взятом решении выполнение, скажем, первого краевого условия (для автоматически влечет выполнение второго. Для такого решения распределенные по поверхностям двух произвольно взятых эллипсоидов, ограниченных куском поверхности гиперболоида напряжения уравновешиваются. Но на этом куске по условию значит, и напряжения на нем статически эквивалентны нулю, и вследствие произвола выбора напряжения

Получаем

и отсюда по (4.2.2)

Этим полностью определяется напряженное состояние. Коэффициенты концентрации напряжений определяются отношением их в наиболее глубокой точке выточки (в критической точке) к номинальному напряжению:

Например, при принимая имеем Вместо в эту формулу вносят кривизну меридиана в критической точке

Напряжения быстро убывают по мере удаления от критической точки; это позволяет оценивать коэффициент концентрации в точке максимальной кривизны наружной выточки на теле вращения при любой форме меридиана по его значению (4.2.11) для гиперболоида.