3.4. Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор.

Общее соотношение между двумя соосными тензорами, рассмотренное в п. I. 13, в применении к энергетическому тензору напряжений и тензору деформации Коши записывается в виде [см. (I. 13.15)]

Тензор здесь определен тремя характеристиками: его первым инвариантом углом входящим в тригонометрическое представление главных значений :

и его вторым инвариантом

Закон состояния задается здесь тремя функциями этих характеристик: 1) отношением первых инвариантов [(I. 13.5)]

2) отношение вторых инвариантов девиаторов [см. (I. 13.9)]

3) углом подобия девиаторов [(I. 13.13)]

Через угол выражаются главные значения формулами, аналогичными (3.4.2) [см. (I. 13.12)]:

Напомним, что интенсивность деформации сдвига гл. II], интенсивность касательных напряжений гл. I], вычисляемая по тензору

Три функции

связаны тремя дифференциальными соотношениями, определяемыми требованием существования удельной потенциальной энергии деформации. Последнюю здесь можно также рассматривать как функцию трех инвариантных характеристик тензора деформации Коши

Сославшись на основное равенство (3.1.1) и пользуясь представлением (3.4.1) энергетического тензора напряжений, имеем

и для преобразования входящих в это равенство выражений полагаем

Тогда

Но, сославшись на (1.11.17), имеем

и подстановка в (3.4.9) приводит к достаточно простому выражению — обобщению формулы (2.4.1) гл. III линейной теории

Из него следуют энергетические определения «обобщенных модулей»

и дифференциальные соотношения, их связывающие,

В линейной теории упругости представляют соответственно модуль объемного сжатия и модуль сдвига; аналога угла подобия в ней нет.

Связь инвариантов с главными инвариантами тензора деформации устанавливается с помощью формул (I. 11.6), (I. 11.7), а также (, (I. 11.15) с заменой обозначения на

так что

С помощью этих формул и соотношения (3.4.10) получаем

Удельная потенциальная энергия деформации материалов с углом подобия девиаторов, равным нулю не зависит от третьего главного инварианта Для таких материалов

а уравнение состояния имеет квазилинейную структуру.

Ее отличие от обобщенного закона Гука линейной теории [см. (1.3.9), (3.1.1) гл. III] состоит не только в замене линейного тензора деформации тензором , но и в замене постоянных модулей «обобщенными», зависящими от всех трех инвариантов тензора (в том числе от через посредство G). Следует принять

Тогда уравнение состояния (3.4.17) примет вид

Здесь согласно п. 3.4 гл. I, энергетический тензор напряжений, рассчитанных на единицу площади в начальном состоянии.

Выражение тензора деформации Коши через энергетический тензор напряжений — обращение формулы - имеет по (1. 13.15) вид

Совершенно очевидно, что в записи, аналогичной (3.4.1), может быть представлен закон состояния, связывающий тензор напряжений с соосным ему тензором деформации Альманзи:

Здесь величины, снабженные знаком тильды составлены по тензорам с помощью формул, повторяющих (3.4.2) — (3.4.6). Однако усложняется вычисление вариации удельной потенциальной энергии

и энергетические определения модулей представляются громоздкими формулами.