§ 3. Обобщенный закон Гука

3.1. Модули упругости.

Закон состояния линейно-упругого тела в изотермическом процессе деформирования по (1.3.11) записывается в виде

Здесь постоянные модули упругости, называемые коэффициентами Ляме. Форма закона сохраняется и в адиабатическом процессе, но по (1.3.9) и (2.3.4) следует заменить в нем К

мало отличающимся от него адиабатическим модулем

Из (3.1.1) легко также выразить тензор деформации через тензор напряжений Имеем

так что

Равенства (3.1.1), (3.1.4) выражают обобщенный закон Гука. Поведение материала в нем задается двумя постоянными; это является следствием предположений об изотропности среды и малости компонент тензора позволивших в общей квадратичной зависимости между соосными тензорами сохранить только линейное слагаемое.

Запись законов состояния (3.1.1), (3.1.4) через компоненты тензоров в декартовой системе осей имеет вид

Обозначения яме применяются преимущественно в теоретических работах, в технической литературе их заменяют другими модулями упругости, чаще всего модулем Юнга (модуль нормальной упругости) и коэффициентом Пуассона Чтобы ввести эти величины, выделим в формуле (3.1.6) для слагаемое из суммы

При обозначениях

запись обобщенного закона Гука (3.1.6) приводится к виду

В одноосном напряженном состоянии, когда отлична от нуля только компонента имеем

и в этой записи легко узнать элементарный закон деформирования растягиваемого осевой силой стержня — его относительное удлинение в осевом направлении пропорционально напряжению с коэффициентом пропорциональности это осевое удлинение сопровождается пропорциональным ему поперечным сокращением размеров стержня, определяемым коэффициентом Пуассона Общий случай трехосного растяжения можно истолковать как результат наложения трех последовательно налагаемых одноосных напряженных состояний. Это рассуждение, конечно, предполагает линейность закона деформирования.

Вторая группа формул (3.1.8) выражает пропорциональность сдвига касательному напряжению при чистом сдвиге — при отличном от нуля только имеет место только соответствующий ему сдвиг уху. Учет нелинейности деформации вносит существенный корректив в это простое представление (п. 6.3 гл. II).

Выражения коэффициентов Ляме через по (3.1.7) записываются в виде

Модуль сдвига часто обозначают а вместо коэффициента Пуассона вводят обратную ему величину, обозначаемую

Первая формула (3.1.10), дающая выражение модуля сдвига через может быть истолкована с помощью известного геометрического построения, в котором рассматривается удлинение диагоналей квадрата, по сторонам которого действуют касательные напряжения, сообщающие изменение прямому углу между этими сторонами.

В записи обобщенного закона Гука может быгь, конечно, использована любая пара из введенных выше модулей

Часто за такую пару принимают Тогда соотношения (3.1.1), (3.1.4) принимают вид, в котором они преимущественно используются в этой книге:

В табл. 2 дается сводка формул, выражающих модули упругости через основную пару модулей.

Таблица 2