§ 6. Области с круговой границей

6.1. Круглый диск, нагруженный сосредоточенными силами.

Сосредоточенные силы — нормальные и касательные - приложены в точках с угловыми координатами по окружности диска радиуса Каждая из этих точек принимается за начало местной системы координат причем оси совмещаются с направлениями единичных векторов полярной системы координат с началом в центре диска эти же направления приписываются силам при

Рис. 42.

Рис. 43.

Через обозначаются полярные координаты точки наблюдения с началом в точке истока и с полярной осью Конечно, предполагается, что система сил статически эквивалентна нулю:

или, в другой записи,

Пусть

где угол с направлением приложенной в силы равнодействующей сил Сославшись на формулу (3.4.5), введем в рассмотрение функцию напряжений

определяющую напряженное состояние, создаваемое особенностями, соответствующими приложению в точках сосредоточенных сил. Функция напряжений задачи о диске разыскивается теперь в виде

причем корректирующая функция определяется по условиям

выражающим, что окружность диска не нагружена в точках, отличных от

Напряженное состояние, создаваемое приложением в точке истока силы сводится лишь к нормальному напряжению на площадке, перпендикулярной

Но на окружности (рис. 42)

так что

Компоненты те тензора напряжений в системе полярных координат теперь определяются известными формулами

так как углы вектора с векторами в точке наблюдения М на равны соответственно Теперь после простейших преобразований и использования уравнений равновесия (6.1.1), имеем

Пришли к неожиданно простому результату: корректирующий тензор напряжений определяет осесимметричное напряженное состояние, создаваемое равномерно распределенным по нормальным давлением:

По (6.1.3) теперь имеем

причем на диске

Как пример рассмотрим диск, сжатый двумя сосредоточенными силами, приложенными по концам диаметра (Герц, 1883). Тогда и по (6.1.6)

причем, напоминаем, углы отсчитываются от векторов в точках направленных противоположно сжимающим диск силам.

Принимая для простоты, что диск сжимается по концам горизонтального диаметра, имеем по рис. 43

и поэтому

причем точка в единичном круге. Теперь функция может быть представлена в виде

так что

Вычисление напряжений по формулам Колосова — Мусхелишвили теперь не составит труда:

откуда следует, что на окружности диска (исключая точки приложения сил) все напряжения равны нулю. На диаметре диска, перпендикулярном линии действия сил, и из формул (6.1.11) следует