1.8. Криволинейные координаты.

В предшествующих пунктах основные соотношения были представлены в инвариантной форме зависимостей между векторными или тензорными величинами; поэтому запись формул в криволинейных координатах требует лишь внимательного соблюдения правил тензорного исчисления (Приложения III—V).

В линейной теории отпадает потребность различения базисов начального и конечного состояний. Это позволяет представить тензор напряжений через его контравариантные компоненты в векторном базисе вместо (3.1.1) гл. I, формулой

Уравнения равновесия в объеме по (3.3.4) гл. I записываются в виде

Линейный тензор деформации представляется через его ковариантные компоненты

— это формулы (3.6.7) гл. II, в них ковариантные компоненты вектора перемещения. По (IV. 7.5) и (V. 4.4) объемное расширение может быть выражено в одном из видов

Записывая формулы, связывающие контравариантные компоненты тензора напряжений с ковариантными компонентами тензора деформации, следует иметь в виду, что роль тензора в

выражении обобщенного закона Гука (1.1.3) отходит к тензору Поэтому, сославшись также на (1.8.4), имеем

Обратные соотношения записываются в виде

Билинейное представление удельной потенциальной энергии деформации (3.2.6) гл. III записывается в виде

так что по (1.8.5), (1.8.6) ее представления и через тензоры деформаций и напряжений будут

Запись уравнений равновесия в перемещениях (1.3.2) получаем, сославшись на (V. 4.9), в виде

По (V. 3.5), (V. 3.4) имеем

и зависимости Бельтрами (1.5.8) при отсутствии массовых сил представляются в виде

Развернутые выражения операций двукратного ковариантного дифференцирования в уравнениях (1.8.10), (1.8.11) весьма громоздки.