ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Дифференциальные уравнения линейной теории упругости
1.1. Перечень исходных соотношений.
Основные уравнения теории упругости задаются тремя группами соотношений. Первая группа представлена уравнениями статики в объеме
связывающими тремя соотношениями шесть компонент симметричного тензора напряжений 
Вторая группа уравнений содержит определение линейного тензора деформации 
через вектор перемещения и:
Здесь имеется шесть уравнений, определяющих компоненты тензора деформации по первым производным трех компонент вектора перемещения.
В третьей группе шести уравнений формулируется закон состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела и в изотермическом или адиабатическом процессах этот закон — обобщенный закон Гука — записывается в форме
или в форме обратного соотношения
Пятнадцать уравнений трех групп содержат такое же число неизвестных: двенадцать компонент двух симметричных тензоров второго ранга 
и три компоненты вектора и.
1.2. Краевые условия.
К системе уравнений (1.1.1)-(1.1.3), определяющих поведение линейно-упругого тела в точках его объема, добавляются условия на ограничивающей его
поверхности. Они определяют задание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности. Здесь различают также внутреннюю задачу для упругого тела, ограниченного извне, и внешнюю, когда речь идет о бесконечно простирающейся среде, снабженной полостью (или полостями). Для каждой из них обычно формулируют три типа задач.
В первой задаче ставится кинематическое краевое условие: в объеме V разыскивается вектор перемещения, принимающий на поверхности О, ограничивающей этот объем, заданное значение
Конечно, здесь координаты 
связаны уравнением поверхности.
Вторая краевая задача — статическая. Задается распределение поверхностных сил 
и краевым условием является уравнение равновесия на поверхности
Третья краевая задача — смешанная. На части 
поверхности задается кинематическое, а на другой ее части 
статическое краевое условие:
Этим, конечно, не исчерпывается многообразие постановок задач теории упругости. Например, на некотором участке границы могут быть заданы не все три компоненты вектора и или силы 
Так, краевые условия на площадке, по которой тело опирается на твердое гладкое основание, записываются в виде
где, как всегда, 
единичный вектор внешней нормали к поверхности тела; первое условие выражает отсутствие нормальной компоненты перемещения, а второе — касательной составляющей вектора силы, тогда как ее проекция на нормаль 
распределенная реакция гладкого основания — наперед неизвестна. Задача значительно усложняется в случае неудерживающей связи: площадка не препятствует перемещению тела в направлении 
Тогда к (1.2.4) надо добавить условие 
а на той (наперед неизвестной) части границы, где оно нарушается, заменить условием 
Известны два способа решения задач теории упругости. В первом начинают с разыскания вектора перемещения и, по которому уже не представляет затруднения вычислить тензор деформации 
а по последнему — тензор напряжения. Это
естественный путь, особенно если речь идет о первой краевой задаче. Но он не всегда является наиболее простым, и ему во многих случаях следует предпочесть способ решения задачи в напряжениях. Тогда ставится вопрос о разыскании такого статически возможного тензора напряжения 
что определяемый по нему тензор деформации 
удовлетворяет условию сплошности (2,1,5) гл. II, Вектор перемещения и находится по формуле Чезаро (2,2,2) гл., II,
Оба описанных способа основываются на дифференциальных уравнениях теории упругости, но ими не исчерпываются возможные подходы к решению задач. Еще одна возможность заключена в использовании минимальных энергетических принципов и в применении основанных на них прямых методов решения вариационных задач,
