§ 5. Напряженное состояние в двусвязном объеме

5.1. Обзор содержания.

В дальнейшем предполагается, что компоненты тензора деформации представляют однозначные непрерывные функции координат, имеющие непрерывные частные производные первого и второго порядка и удовлетворяющие условию сплошности (2.1.5) гл. II. Условимся называть такую деформацию правильной.

При правильной деформации упругой среды в односвязном объеме вычисляемые по тензору деформации вектор перемещения и и линейный вектор поворота со также однозначны и непрерывны. Согласно теореме единственности(п. 4.1) Кирхгоффа состояние этого объема при отсутствии внешних сил является натуральным. Этого нельзя сказать в случае двусвязного объема (тор, полый цилиндр); в нем может существовать напряженное состояние при правильной деформации и при отсутствии

внешних сил. Сообщение напряженного состояния двусвязному упругому телу, ранее находившемуся в натуральном состоянии, можно мыслить осуществленным путем создания дисторсии Вольтерра (п. 2.4 гл. II). Двумя конгруэнтными разрезами из тела удаляется тонкий слой материала, и концы образовавшегося односвязного объема спаиваются по конгруэнтным поверхностям — по «барьеру». Характеристиками дисторсии являются два циклических постоянных вектора называемые ниже поступательным и поворотным векторами дисторсии; ими определяются поступательное перемещение и поворот, которые должны быть сообщены одному из концов после разрезания, чтобы совместить его с другим конгруэнтным концом.

Рис. 15.

Заданием внешних сил, действующих на упругое тело в односвязном объеме, определяется напряженное состояние в нем и однозначный непрерывный вектор перемещения; в двусвязном объеме определение напряженного состояния по внешним силам возможно, лишь если наперед известно, что векторы дисторсии равны нулю.

Разрывы вектора поворота со и вектора перемещения и на барьере определяются по формулам Вейнгартена через векторы дисторсии с и компоненты их Вольтерра назвал постоянными барьера. Для двусвязного тела формулировка теоремы Кирхгоффа должна быть дополнена требованием задания шести постоянных барьера: если упругая среда заполняет двусвязный объем и ее деформация правильная, напряженное состояние в ней определяется заданием не только внешнцх сил, но и шести постоянных барьера. Это доказывается в п. 5.2 построением напряженного состояния в ненагруженном теле по заданию векторов Измененная формулировка теоремы взаимности в двусвязном теле дается в п. 5.3, а в пп. 5.4 и 5.5 приводится выражение потенциальной энергии деформации, определяемой наличием дисторсии. Краевая задача теории дисторсий сформулирована в п. 5.6. Примеры, относящиеся к задачам дисторсий в полом цилиндре, рассматриваются ниже, в п. 7.3 и гл. V.