§ 3. Равновесие упругой сферы
3.1. Постановка задачи.
Решение первой и второй краевых задач для сферы разыскивается в предложенной 
Треффтцем форме
Здесь 
радиус сферы, 
вектор-радиус, 
гармонический вектор, 
гармонический скаляр:
Представление решения в форме Папковича — Нейбера в случае сферы не столь быстро ведет к цели, в особенности для первой краевой задачи.
Соотношения, связывающие гармонические функции 
следуют из уравнений теории упругости в перемещениях. Последние при отсутствии объемных сил записываются в виде
По (3.1.1), (3.1.2) имеем
и подстановка в (3.1.3) приводит к искомому соотношению
Тензор деформации и объемное расширение представляются в виде
Теперь легко составляется выражение вектора напряжения на поверхности сферы 
или
где в рассмотрение введен вектор
Этот вектор оказывается гармоническим. Действительно, используя снова (3.1.4), (3.1.5), имеем
и подстановка в (3.1.10) дает
Но величина в скобках по (3.1.6) равна нулю; итак,
