3.7. Напряжения, крутящий момент, осевая сила.

Уравнение статики имеет вид

Имея в виду формулы дифференцирования [см. (3.6.2)]

и учитывая, что остальные величины зависят только от приходим к одному лишь уравнению

которое после перехода к физическим компонентам принимает хорошо известный вид

Из него, применив первое соотношение (3.6.10), получим

Константа интегрирования определена по условию отсутствия внешних сил на наружной поверхности цилиндра принятая картина деформации не дает решения задачи кручения

полого цилиндра, так как в нашем распоряжении имеется только одна постоянная и требование освободить от напряжений а, внутреннюю поверхность не может быть выполнено. Было бы грубой ошибкой думать, что задача о кручении полого цилиндра может быть решена наложением на приведенное здесь решение решения «задачи Ляме» пп. 3.1-3.4. В нелинейных задачах недопустимо раздельное рассмотрение нагрузок. Решение задачи кручения для полого цилиндра требует отказа от предположения об отсутствии радиальных перемещений и независимости от осевых; картина деформации должна быть усложнена введением задающих их функций от

Определяемая формулой (3.2.3) гл. I сила, действующая на площадку в поперечном сечении цилиндра, равна

Главный вектор и главный момент этой системы сил равны

и из соотношений

следует, что эти векторы, как заранее предвиделось, параллельны оси Приходим к выражениям осевой силы и крутящего момента

Замечая, что

и обратившись к формулам (3.6.10), (3.6.11), придем к формулам

Здесь — значения удельной потенциальной энергии деформации на поверхности и на оси стержня,

— потенциальная энергия деформации, отнесенная к единице длины скрученного стержня.

Здесь отчетливо обнаруживается эффект Пойнтинга — необходимость сжимающей осевой силы, чтобы сохранить неизменной длину скручиваемого стержня

Изменение длины стержня (параметр а) при отсутствии осевой силы определяется по уравнению (3.7.6) при

В нелинейной теории кручение сопровождается не только касательными напряжениями но и возникновением всех нормальных напряжений.

Для материала Муни сжимающая сила, требуемая для сохранения длины стержня, оказывается равной

где полярный момент инерции поперечного сечения. При этом условии

и по (3.7.7), вводя обозначение модуля сдвига (1.4.7), приходим к тому же, что и в линейной теории, выражению крутящего момента:

При отсутствии осевой силы выражение крутящего момента записывается в виде

причем а — функция от определяемая по (3.7.6) из уравнения

Например, для неогукова материала

— стержень удлиняется, а рост крутящего момента уменьшается с ростом угла закручивания