5.3. Распределение напряжений по поверхности эллипсоида.

Зная вектор перемещения, конечно, можно вычислить тензор напряжений в любой точке среды. Его выражение очень громоздко, поэтому ограничимся определением вектора напряжения на поверхности эллипсоида (при ). Учитывая при этом, что

имеем

Замечая еще, что на поверхности эллипсоида где — косинус угла единичного вектора нормали к поверхности эллипсоида с осью имеем

Еще раз сославшись на формулы (III. 11.26), имеем вместе с тем

так что по (5.2.7), (5.2.8)

Подстановка в (5.3.3) дает теперь

или, по (III. 11.21) и (III. 11.22),

Этот неожиданно простой результат, полученный прямым вычислением, может быть сразу же найден, если основываться на представлении вектора Папковича—Нейбера (4.3.15) гл. IV, в котором плотность как раз является искомым вектором напряжения на поверхности полости в упругой среде, что следует из выражения (4.7.1) гл. IV. В нашем случае по (5.2.2) и (5.2.5) проекции вектора В при равны

а на поверхности эллипсоида имеют постоянные значения, которые являются также значениями этих гармонических функций и внутри эллипсоида. Итак, сославшись на (4,3.15) гл. IV,

имеем

и по теореме о разрыве нормальной производной простого слоя

или

как и требовалось.

Уравнением

определяются проекции силы которую следует приложить к эллипсоиду, чтобы сообщить ему перемещение Имеем по (III. 11.22), (III. 11.23)

так что по (5.3.6)

где интегрирование ведется по октанту эллипсоида. Вычисление дает

так по известному соотношению Лежандра

Получаем