§ 2. Свойства тензора напряжений
2.1. Преобразование компонент. Главные напряжения. Главные инварианты.
Можно повторить применительно к тензору напряжений сказанное в Приложении I о свойствах симметричного тензора.
Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим 
с единичным вектором 
тогда 
и проекции на старые оси «квазивектора» 
- напряжения на площадке с нормалью 
по (1.4.5) будут
а на новые оси
Например,
Легко также получить эти формулы, записав тождество
и представив в нем единичный тензор 
в виде
Снова получаем (2.1.1):
Главные значения тензора напряжений, называемые главными напряжениями, равны корням 
его характеристического уравнения
Главные направления — главные оси напряжений — образуют ортогональный триэдр единичных векторов 
косинусы их углов с осями координат 
определяются системой уравнений 
Диагональное представление тензора напряжений в главных осях записывается в виде
и главные напряжения 
на площадках с нормалями 
являются нормальными, а касательные напряжения на них отсутствуют. Выражения компонент тензора в системе осей 
через главные напряжения записываются в виде
Рис. 4.
Здесь 
так как главные оси играют роль «старых» осей. Упрощается также запись зависимостей Коши (1.4.5):
Нормальное напряжение на площадке с нормалью 
по (2.1.8) выражается через главные напряжения по формуле
легко получаемой по (2.1.7) или (2.1.9). Вместе с тем по (2.1.9)
и этим определяется квадрат модуля квазивектора 
полного напряжения на площадке с нормалью 
через 
обозначено полное касательное напряжение на этой площадке (рис. 4).
Величина 
представляет 
компонент тензора 
а 
квадрат величины вектора 
Поэтому в системе осей не являющихся главными,
причем теперь 
является одной из главных осей, так как 
называя через 
угол оси 
с главными осями 
имеем по (2.1.8)
сославшись на (1.10.4) (1.10.10), (1.10.11), можно записать в виде
