§ 6. Примеры деформированных состояний
6.1. Аффинное преобразование.
Оно определяется соотношением [см. [1.3.15)]
где
постоянный тензор второго ранга. Из соотношения
по (3.2.4), (3.3.2), (3.3.7) имеем
а по
Эти формулы поясняют различие между введенными мерами деформации. Далее в записях компонент используются декартовы координаты; поэтому в нарушение правил общей тензорной алгебры (Приложение IV) свободные индексы в левой и правой частях формулы занимают различные положения, а суммирование проводится по индексам, расположенным на одной высоте. Компоненты первой меры деформации и тензора деформации
представляются в виде
и по (3.4.4), (3.4.8) формулы для относительных удлинений и сдвигов будут
Через
обозначается алгебраическое дополнение элемента матрицы
разделенное на определитель
этой матрицы. Тогда
и, далее,
Отметим, что
в Нервом случае речь идет об относи тельном удлинении отрезка единичной длины, который в
-объеме был параллельным оси
и приобрел длину
в
-объеме; во втором — об отрезке длины
в
-объеме, который в этом объеме стал параллельным оси
. В формуле (6,1.5) материальными координатами считаются
(декартовы координаты
-объема), а в (6.1.6) — координаты
(декартовы координаты
-объема).
Инварианты меры деформации
по (1.6.7) и (5.2.4) представляется в виде