7.6. Решения в бесселевых функциях.

В п. 7.1 показано, что функции Папковича — Нейбера, решающие задачи о равновесии упругого цилиндра при радиально-симметричной деформации, представляются гармоническими функциями

В случае меридиональной деформации используются две из трех функций функция пропорциональная перемещению служит для решения задачи кручения.

Гармонические функции того же типа

применяются для решения задач об изгибе, причем использование всех четырех функций излишне.

В этом пункте даются представления гармонических функций

с помощью произведений вида

обеспечивающего разделение переменных в уравнении Лапласа. Для определения приходим к дифференциальному уравнению цилиндрических функций

Необходимость раздельного выполнения краевых условий на боковых поверхностях и на торцах по-видимому, делает невозможным решение задачи в «замкнутом» виде, иначе говоря, в форме рядов с коэффициентами, определяемыми конечным числом операций. Задача, исключая случай осесимметричного кручения, приводится к бесконечным системам линейных уравнений для этих коэффициентов; при надлежащем выборе исходных решений такие системы оказываются вполне регулярными (или регулярными), что допускает применение приемов приближенного определения неизвестных.

Этого трудного пути, допускающего в конечном счете получение численных результатов не из общих формул, а для определенного задания геометрических параметров и параметров нагружения, стараются избегнуть ценой тех или иных пренебрежений. В случае, когда длина цилиндра достаточно велика (21 1), можно, используя наоор решений вида (7.6.3) при чисто мнимом, точно удовлетворить краевым условиям на боковых поверхностях и довольствоваться приближенным выполнением условий на торцах. Система сил, распределенных по торцам (наперед заданных, а также определяемых решениями первой группы), заменяется ей статически эквивалентной системой, для которой решение, оставляющее боковые поверхности свободными от нагружения, известно. Обычно эта цель достигается наложением решения задачи Сен-Венана (гл. VI); в последней краевые условия на торцах выполняются интегрально — строится решение, в котором главный вектор и главный момент распределенных по торцам сил имеют заданные значения, а боковая поверхность оказывается ненагруженной.

Этот способ решения задачи о длинном цилиндре обосновывается «принципом Сен-Венана» (п. 2.8 гл. IV), утверждающим, что так находимое напряженное состояние может отличаться от искомого лишь местными возмущениями напряженного состояния, убывающими при удалении от торцов. Можно еще добавить, как уже говорилось, что практическая ценность «решений по Сен-Венану» определяется тем, что детали закона распределения напряжений чаще всего не могут быть учтены в задании.

Второй крайний случай — случай короткого цилиндра то есть круглой (сплошной или кольцевой) плиты. Сказанное выше о случае длинного цилиндра здесь можно повторить «в обратном порядке»; строится путем использования

набора решений вида (7.6.3) при вещественном решение, в котором строго удовлетворяются условия нагружения торцов цилиндра; приходится довольствоваться выполнением «в среднем» краевых условий на боковых поверхностях (они могут быть разнообразными). Возникающие здесь вопросы в значительной мере связаны с теорией изгиба плит, не рассматриваемой в этой книге.

Наиболее труден случай «кубообразного» цилиндра с длиной, сравнимой с диаметром . По-видимому, общего средства решения, отличного от приведения к бесконечным системам линейных уравнений, здесь нельзя предложить.

Далее мы останавливаемся только на задаче о «длинном» цилиндре, нагруженном по его боковым поверхностям. Торцы предполагаются ненагруженными.

При где вещественно, решение дифференциального уравнения

записывается в виде

Здесь — бесселева функция от аргумента функция Макдональда; последняя имеет особенность на оси цилиндра (при ) и поэтому исключается при рассмотрении задач о сплошном цилиндре.

Ограничиваясь далее случаем аксиально-симметричной деформации, примем

По (7.1.6) напряжения после исключения из их выражений вторых производных с помощью уравнений (7.6.5), примут вид

При задании нагружения боковых поверхностей по закону

полагаем

С помощью формул дифференцирования (штрих обозначает дифференцирование по

для определения четырех постоянных получаем четыре уравнения, не выписываемых здесь вследствие их громоздкости. Отметим лишь, что определитель этой системы в частном случае сплошного цилиндра оказывается равным

Зная коэффициенты по формулам (7.1.5), (7.1.6) составляем выражения радиального и осевого перемещений и всех компонент тензора напряжений. Это решение обобщается на случай произвольного нагружения боковой поверхности цилиндра, симметричного относительно среднего сечения цилиндра Тогда четно, нечетно относительно и их краевые значения представимы тригонометрическими рядами

Решение для постоянных слагаемых определяется по формулам задачи Ляме а каждому члену рядов соответствует получаемое описанным выше способом решение, в котором принимается равным .

Называя через осевое усилие в поперечном сечении цилиндра, имеем по (7.1.17)

и, поскольку пропорциональны получаем

причем постоянное слагаемое вносится решением задачи Ляме. Осевые усилия на торцах оказываются равными

и система сил, распределенных по торцам, может быть сделана статически эквивалентной нулю при нагружении торцов равномерно распределенными нормальными напряжениями интенсивности

Так построенное решение определяет напряженное состояние в цилиндре длины с точностью до местного возмущения его в близости от торцов. Строго говоря, здесь дается решение задачи о бесконечно длинном цилиндре, по боковой поверхности которого распределена нагрузка, задаваемая периодическими функциями Можно также использовать представление закона нагружения не рядом, а интегралом Фурье, продолжая произвольным образом задание этого закона вовне отрезка например, принимая нагрузку равной нулю при

Точное решение требует удаления с торцов оставленных на них статически эквивалентных нулю систем сил. Выше указывалось на трудность этой задачи; далее рассматривается прием частичного выполнения этого требования с помощью «однородных решений».

Случай кососимметричного относительно среднего сечения цилиндра нагружения рассматривается аналогично; требуется заменить на в формулах (7.6.7), (7.6.8). Общий случай нагружения можно рассмотреть наложением симметричного и кососимметричного нагружений.