7.7. Способ продолжения.

Плоскость разбивается на три области: содержащее упругую среду кольцо область плоскость вне единичной окружности область круг внутри окружности -Преобразование обратными радиусами относительно переводит точку в точку области (в кольцо этой области ), а относительно — в точку области (кольцо а в ней).

Продолжения в области определяемые по (6.13.3), представляются выражениями

Функция согласно (6.13.9), определяется двумя способами:

Эти соотношения приводят к «тождеству связи»

Краевые условия на в соответствии с (6.13.6) записываются в виде

и по (6.13.7) функция на всей плоскости определяется равенством

Здесь голоморфная в кольце функция представима рядом Лорана. Первый интеграл в формуле (7.7.5) непрерывен на второй — на Поэтому на и на функция испытывает диктуемые краевыми условиями (7.7.4) разрывы непрерывности.

В тригонометрических рядах, задающих отделим слагаемые содержащие положительные степени о (включая свободный член от слагаемых с отрицательными степенями а:

так что

Заметим, что значения на функций гголоморфных внутри и соответственно точно так же контурные значения функций голоморфных вне

Имея это в виду и применяя правила вычисления интегралов Коши , получаем следующие представления функции

и это вполне согласуется с краевыми условиями (7.7.4).

Переходим к записи тождества связи (7.7.3); входящие в него функции определяются по выражениям для если в них заменить на и

соответственно на возвращаясь тем самым в область Получаем

и подстановка в (7.7.3) дает равенство

Из него можно исключить функцию определив ее по выражению для при

причем - результат формальной замены в для переменной соответственно на (см. п. 6.13).

Используя обозначение (7.7.7), приходим к функциональному уравнению для

Из него легко получить уравнения, определяющие коэффициенты ряда Лорана этой функции:

Подставив его в (7.7.11), получим

Приравнивая коэффициенты при слева и справа, получаем

Наконец, сравнение слагаемых при при приводит к уравнениям (в уравнении для коэффициентов при переходим к сопряженным величинам)

Эти уравнения (если учесть отличия обозначений) совпадают с (7.3.5). Эта система уравнений позволяет определить все коэффициенты при , так как ее определитель

отличен от нуля.

Уравнения статики, выражающие обращение в нуль главного момента и главного вектора распределенных по поверхностных сил, имеют вид

Они соответствуют первому и второму уравнениям (7.7.14) и являются условиями существования решения. Из уравнений (7.7.15) имеем

Третье уравнение (7.7.14), связывающее два неизвестных должно быть дополнено по (5.4.15) соотношением

вывод которого основывался на требовании однозначности перемещений. Получаем

Функция определяемая, например, первым равенством (7.7.2), составляется заменой в нем по (7.7.9)

и последующей заменой по (7.7.10). Получаем

С помощью второго равенства (7.7.2) получили бы

что совпадает с (7.7.21) вследствие (7.7.11). При таких определениях выполняются краевые условия, записываемые по

что и требуется.

Как ожидалось, результаты применения способа продолжения тождественны с теми, которые можно получить непосредственно построением функций по краевым, условиям. Однако для некоторых частных случаев нагружения этот способ, сводящийся к рассмотрению одного лишь функционального уравнения (7.7.11), быстрее ведет к цели.