2.6. Главные напряжения.

Следствием закона состояния Фингера (2.4.1) является соосность тензора напряжения с тензором меры деформации (или Вспомнив, что главные значения этой меры равны главным значениям тензора и называя главные напряжения, имеем

где единичные векторы главных направлений этих тензоров.

По (2.4.1), учитывая, что ее — единичный тензор V-объема, имеем

В рассмотрение вводятся также главные относительные удлинения по (3.4.4) гл. II они определяются равенствами

а инварианты выражаются через них по формулам

Поэтому

Теперь, вспомнив определение (2.1.7) обобщенных модулей, представим (2.6.2) в виде

причем по (2.6.5)

Это позволяет записать выражения главных напряжений в простом виде:

так что

Удельная потенциальная энергия деформации предполагается заданной через главные удлинения.

Величины справа в формулах (2.6.9) представляют главные напряжения отнесенные к площадкам в -объеме, нормальным главным направлениям тензора действительно,

и формулы (2.6.9) представляются в простейшей форме:

Возвращаясь к (2.6.8), составим выражение вариации удельной потенциальной энергии деформации:

его левая часть представляет приращение потенциальной энергии деформации в единичном кубике уобъема с ребрами, направленными в -объеме по главным осям тензора напряжений его правая часть равна элементарной работе приложенных нормально к граням этого кубика сил

Этим объясняется неожиданно простая форма соотношений (2.6.8). Для несжимаемого материала

и к соотношению (2.6.11) добавляется уравнение связи между вариациями величин

Теперь, введя лагранжев множитель придем к выражениям главных напряжений для несжимаемого материала в виде

Заметим, что величина с в законе состояния (2.4.1) также имеет смысл лагранжевого множителя.