3.5. Применение логарифмической меры деформации.

Этот тензор соосен с тензором а его главные значения равны логарифмам главных значений тензора

и при этом

Основываясь на соотношении (2.6.8), имеем

В тензорах выделяются шаровые и девиаторные части

и в рассмотрение вводятся вторые и третьи инварианты девиаторов (см. п. I. 11)

Главные компоненты девиаторов определяются по формулам (I. 11.16):

причем конечно

Возвращаясь теперь к формуле (3.5.2), имеем

и, далее,

где угол подобия девиаторов. Приходим к соотношению

и, рассматривая А как функцию инвариантных величин получаем

При обозначениях

возвращаемся к формулам (3.4.11), с той разницей, что теперь в рассмотрение введены инварианты логарифмической меру деформации.

Дифференциальные зависимости между инвариантами тензора напряжений теперь записываются в виде

Они упрощаются для материалов с равной нулю фазой подобия девиаторов: исчезает зависимость А от параметра но величины остаются связанными соотношением

Ему можно удовлетворить, полагая

Тогда оказывается зависящим только от первого инварианта логарифмической меры деформации (отношения объемов тела в деформированном и начальном состояниях). Второй инвариант девиатора напряжений (значит, и модуль оказывается зависящим не только от но и от упомянутого отношения объемов.

Уравнение состояния материала с равной нулю фазой подобия в соответствии с (3.5.3), (3.5.6) записывается в форме Генки:

и при экспериментальном определении «модулей сжатия и сдвига» следует (для идеально-упругого тела) руководствоваться соотношениями

В случае несжимаемого материала,

выражение вариации удельной потенциальной энергии деформации (3.5.4) представляется в виде

причем величина остается неопределенной. Для материала с равной нулю фазой подобия девиаторов

и выражение тензора напряжений имеет вид