4.5. Теорема существования решения второй внешней и первой внутренней задачи.

Пусть однородное интегральное уравнение

имеет нетривиальное решение Тогда вектор перемещения определяемый по (4.3.1) первым потенциалом

удовлетворяет однородным уравнениям теории упругости в перемещениях и убывает на бесконечности не медленнее, чем а вычисляемые по нему поверхностные силы по (4.4.1) и (4.5.1) исчезают на О и имеют порядок на поверхности сферы достаточно большого радиуса Удвоенная потенциальная энергия деформации в таком напряженном состоянии, определяемая формулой Клапейрона (3.3.3) гл. III, равна

Здесь элемент поверхности сферы единичного радиуса, а подынтегральная функция убывает не медленнее, чем так что

и вследствие положительной знакоопределенности удельной потенциальной энергии деформации Поэтому может быть только перемещением среды как твердого тела, но оно отсутствует на бесконечности, и поэтому

Остается убедиться, что это равенство противоречит предположению Для этого отметим, что вследствие непрерывности первого потенциала из (4.5.3) следует

и, еще раз обратившись к формуле Клапейрона, имеем

так что и по (4.5.4)

Поверхностные силы, вычисляемые по равному нулю вектору перемещения, конечно, отсутствуют, и по (4.3.10) — (4.3.12) теперь получаем

что и требовалось. Итак, интегральное уравнение значит и союзное с ним уравнение допускает только тривиальное решение; не является собственным числом этих уравнений. Этим доказано существование и единственность решения задач при произвольных заданиях на О вектора перемещения в первой из этих задач и поверхностных сил во второй.