VI.4. Решение внешней и внутренней задач для шара.

Предполагается, что заданная на поверхности сферы функция удовлетворяет условиям представимости ее рядом по сферическим функциям Лапласа

Тогда гармоническая внутри сферы и вне ее функция, принимающая на этой сфере значения (VI. 4.1) и обращающаяся (в случае внешней задачи) в нуль при не медленнее, чем представляется рядами

Эта непрерывная во всем пространстве функция представляет потенциал распределенного по поверхности сферы простого слоя, плотность которого определяется известным равенством

где единичный вектор внешней нормали к поверхности. В рассматриваемом случае имеем

Слагаемые ряда (VI. 4.1) — сферические функции Лапласа определяются по заданной на сфере функции формулами

где

и

Для задач с осевой симметрией не зависящем от К) формула (VI. 4.5) упрощается. Получаем по (VI. 4.5), (VI. 4.1)

Это — известное разложение функции в ряд по полиномам Лежандра.