2.4. Функция напряжений в задаче о полосе.

Следуя сказанному в п. 2.3, запишем бигармоническое уравнение для функции Эри в виде

Здесь требуется задание четырех начальных условий — значений и ее производных первого, второго и третьего порядков при Для упрощения последующих формул будем искать в форме суммы ее четной и нечетной по у частей, что соответствует разбиению на задачи Вычисления далее ведутся параллельно. Начальные условия записываются в виде

и соответствующие решения «обыкновенного» дифференциального уравнения (2.4.1) будут

так что

Краевые условия (2.1.5) могут быть записаны в виде

и при обозначениях

определяют выражения функции напряжений и ее нормальной производной при

По этим условиям определяются неизвестные функции в решении (2.4.3), а по ним и сами эти решения

где введены обозначения

Ряды по степеням выражений в квадратных скобках в задаче А начинаются слагаемым нулевой степени, а в задаче второй степени. Поэтому функции в обеих задачах представимы рядами, содержащими, кроме постоянных слагаемых, только положительные степени

Перемещения, вычисляемые по формулам (1.7.7), оказываются равными

(см. скан)

В эти формулы входят слагаемые, разложения которых в ряды содержат и отрицательные степени; можно было это предвидеть, так как определение перемещений требует дальнейшего интегрирования выражений поверхностных сил.

Выражения напряжений легко получить дифференцированием функции напряжений (2.4.7). Не приводя этих громоздких

формул, отметим, что представление наиболее важных в теории балок величин оказывается достаточно простым. Например, нормальные напряжения на продольных сторонах балки оказываются равными

Касательное напряжение на оси балки оказывается равным

Уравнение упругой линии записывается в виде

Применимость этих формул, казалось бы, обусловлена неограниченной дифференцируемостью функций, задающих поверхностные силы. Однако ниже будет показано, что это ограничение может быть устранено. Приведенным формальным представлениям оказывается возможным придать вполне определенный смысл и при наличии кусочно-непрерывных поверхностных сил и даже сосредоточенных сил и моментов.

Отметим еще используемые ниже представления операторов и обратных им величин:

Наличие множителя в выражении обусловливает большую сложность задач изгиба по сравнению с задачей растяжения.