5.3а. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии.

Рассмотрению этого пункта предпошлем выражение среднего значения тензора напряжений по объему тела (см. также (4.3.2) гл. I). Введя диады запишем соотношение

Но нетрудно проверить, что дивергенция тензора третьего ранга преобразуется к виду

поскольку Возвращаясь теперь к имеем

В теле, подвергнутом дисторсии Вольтерра, тензор напряжений отличен от нуля и при отсутствии объемных и поверхностных сил; оказывается равным нулю его среднее значение по объему:

Отсюда следует, что в линейно-упругом теле равно нулю и среднее значение линейного тензора деформации изменение объема упругого тела, подвергнутого дисторсии, поэтому может найти объяснение лишь в нелинейной теории упругости.

Заменив в (5.3.3а) тензор его приближенным выражением (5.1.13), с принятой точностью имеем

Вместе с тем по (5.1.6)

и выражение относительного изменения объема тела записывается в виде

Возвращаясь к (5.3.4а), составим выражение первого инварианта подынтегрального выражения; сославшись на формулы (5.1.12), (5.1.14), получим

и, сославшись на (5.3.4a), (5.3.6a), приходим к соотношению (Тупин и Ривлин, 1959)

Входящие в правую часть инварианты при принятой точности определяются решением задачи о напряженном состоянии подвергнутого дисторсии линейно-упругого тела в -объеме.