2.5. Определение постоянной а.

Задача рассматривается в предположении об одновременном действии крутящего момента и поперечных сил. По (1.5.4), (2.1.15), (2.1.9) имеем

Ограничимся здесь рассмотрением односвязной области Тогда можно принять, что функция напряжений, которая по (2.4.4) на контуре постоянна, равна на нем нулю:

Тогда

Величина

называется геометрической жесткостью при кручении. Ее определение для многосвязной области дано в этой главы.

Аналогично преобразуются интегралы

где (рис. 24) есть площадь сектора, образуемого вектор-радиусами двух бесконечно близких точек на с началом (полюсом секториальной площади) в начале координат О. Площадь замкнутой кривой

не зависит от выбора полюса; действительно, при переносе начала координат в точку

так как интегралы равны нулю.

Рис. 24

В дальнейшем преобразовании формулы (2,5.4), предложенном В. В. Новожиловым, используется формула Грина

Из нее, вспомнив (2,1,3), (2,5.2), (2.1.10), (2,1.12), имеем

так что

причем интегрирование по частям не вносит внеинтегрального члена, поскольку однозначные функции (гармоническая в односвязной области функция однозначна в ней).

Теперь, сославшись на (2.4.8), (2.1.12), (2.1.10), имеем

и, далее,

и остается заметить, что по (2.5.2)

После подстановки этих соотношений в (2.5.4) получаем

и аналогично

Теперь, вернувшись к исходному соотношению (2,5,1), придем к уравнению, определяющему постоянную а — средний угол закручивания: