5.2. Определение напряженного состояния по постоянным барьера.

Из упругого тела в двусвязном объеме выделяется объем ограниченный поверхностью часть которой о представляет барьер, делающий односвязным объемом. Поверхность объема обозначается О, объем вне О — через , а вне S — через (рис 15).

Пусть заданные постоянные барьера. Сославшись на формулы (3.7.9) и (3.7.10), имеем

причем при при так что левая сторона этого равенства может быть представлена в форме разности значений вектора перемещения

при переходе через барьер. Тензор деформации вычисляемый по этому вектору, равен нулю повсюду:

Итак,

Интеграл справа представим в виде суммы двух интегралов:

Вектор сохраняет непрерывность при переходе через через поверхность то же можно сказать о вычисляемых по и тензорах деформации Вместе с тем по (5.2.3)

Но тензор остается непрерывным при переходе через а, значит, на а непрерывен и тензор а вследствие непрерывности на о вектора вектор

остается непрерывным повсюду, исключая барьер а, на котором он испытывает тот же разрыв непрерывности, что и так что по (5.2.4)

Здесь в согласии с (2.4.6) гл. II индексами « + » и «-» обозначены значения и «под» и «над» барьером (рис. 9).

Вектор представимый по (5.2.5) в виде

является вектором перемещения точек упругой среды, удовлетворяющим однородным уравнениям теории упругости в перемещениях. Вычисляемые по нему тензоры деформации и напряжений повсюду непрерывны; оставаясь непрерывным всюду, кроме барьера , этот вектор на барьере испытывает разрыв непрерывности требуемого вида (5.2.7).

По тензору определяется распределение поверхностных сил на поверхности двусвязного объема эта система сил статически эквивалентна нулю, так как определяемое по вектору напряженное состояние является равновесным.

Определим теперь в объеме К, напряженное состояние создаваемое поверхностными силами — при отсутствии дисторсии. Такое напряженное состояние по теореме п. 4.6 существует и определяется единственным образом, так как искомый в нем вектор перемещения и непрерывен и однозначен, а система поверхностных сил — статически эквивалентна нулю. Наложение напряженных состояний и представляет напряженное состояние в двусвязном объеме, определяемое только дисторсией, так как внешние силы в нем отсутствуют.